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2024年度 11月 高2 進研摸試 自学 @Akagi
B7 等差数列{a}があり, α = -11,
α - α = 8を満たしている。
また,数列{b,}があり,その初項から第n項までの和を S, とすると
3
S,=1/2n+1/2(-1)^-1} (n=1, 2, 3, …)を満たしている。
(1) 数列{a}の公差を求めよ。 また,一般項 αを求めよ。
n
(2)6, を求めよ。 また, 数列{b,} の一般項b を求めよ。
(3) cn = na,b,(n=1, 2, 3, …)で定義される数列{c}があ
n
る。このとき,Σ(C2k-1+C2k)をnを用いて表せ。
k=1
(配点 20)
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自学
a₁ =−11, a,−a, =8 / S„=±²²n+½{(−1)” −1}
▷ 等差数列
3
2
等差数列の公式an = a +(n-1)d を利用すると
a3 = a +(3-1)d = −11+2d
C
a₁ = a +(7-1)d = −11+6d
これらの差が8だから
(−11+6d)−(−11 + 2d) = 8
d = 2
よって、一般項は
n
a = −11+(n−1)×2 = 2n-13
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(2) 3 初項 ▷和と一般項◇ b=S=1/2x1+1/2-11-1}=1 -1)' 一般項 n≧2のとき bm=Sn-S n-1 (-1) = 3 -n+ 3 1 =+n+ = 1 - \1 \3 3 1 (-"-2"+24 n-1 n+ (-1)"-1 + (n + -1)"-1 -1)' + 3 4 2 = 1 4 -(-1)" -- 4 (-1)" + 1 3 n-1 2 1 -(-1)" + 2 2 1 3 (-1)" + 3+(-1)" 2 2 これはn=1のときにも成り立つ。 ||
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(3) シグマ公式 c₁ = na b = n(2n-13)b 3+(-1)" n (2)より bm = 2 3+(-1)2-1 3+(-1) 奇数項: b, = = 1 2n-1 2 2 3+(-1) 2n 3+(+1) 偶数項:bzn = = 2 よって 2 c = (2n-1)x (2(2n-1)-13×1 = 8n² - 34n+15 偶数項: Can = 2nx (2.2n-13)×2 =16n² - 52n 全項: Cn = C2n-1 n したがって k=1 +C2n = (8n² −34n+15) + (16n² − 52n) = = 24n² - 86n+15 (C 2k-1 + C2k) =Σ (24k² - 86k+15) = k=1 =24×―n(n+1)(2n+1)−86×—n(n+1)+15n = = 8n³-31m² - 24n
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