數學平面向量觀念+例題整理(6頁)

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pillow

Senior High 全学年

數學平面向量觀念+例題整理(6頁)

2025.11.22 公開

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ノートテキスト

ページ1:

3-1平面向量的運算:
---------
△有向線段(需考慮始點和終點是否相同,來計算
A
線段數量)
表丽的大小
7
@pillow
| AB JLN → | AB | 16, A = (a1, a~) 7 | Jib₁-a.) "+ (b>-a0)")
(後一前)
B=(6162)
向量考慮大小和方向,可以單一字母表示,例:六
IDADI BU, ABII DU
丽丽=方向大小同)
4
平行四邊形
☆比較(1)和(12)
例:(1)設平行四邊形ABCD中A-3,2),B(5)-2),C(-1,-4),
求口點座標?
(2)設平行四邊形的三點分別為A14.17,B(-2,-3),C(2)-4)
求第四點座標?
(役一前)
(B3 & 11 : 1 2 2 0 1x, y ), 1 2 AB = DU 2 3 3 18,-4) = (-1-x, -4- y)
-1-x-8x=-9,720
2
(ABCD有順序性)
解(2)順序未固定,D點座標有了解
AD (2012, y)
793 193 1% ABVD, TO=BA, D 18,0)
平行四邊形ACBD,O=ch,D(0.2)
平行四邊形ABDU,丽:成,D1-41-87
=
*找尋關係:每小格皆為1的正方形,求++
PI
• A + OB = 00 = 0 0 + 0 c = 0 #

ページ2:

.
向量的加法:
*
atb
@pillow
.
P2
111 x 134 a 19.192), b=1 b₁, b2)
a+ b = lait b₁, az + bz)
● 向量的減法:
·對一向量,和古大小相等、方向相反,記作一方
.
· α-b=1a1-b₁, az-b₂)
A
丽二一十店
m
4和萌大小同,方向反,需加負號後顛倒
例:正天邊形ABCDEF中,D,E,而交於口點
AL
AD = 2ÃO = (AB + Bo) = x²+ b) = 2 α +2 b
AC=ÃO - b = 2 n + 2 b - b = z α + b
△ 向量係數積的表示法
.
α = (a1, a2), r13332, r₁ = (ra₁, raz)
● 平行向量:x項相除,y項相除
B
15
。
E
設=11,2),古=(-214),10.3),若坊和一平行,求實
1112)+(-214)11-2017
*
= (1-24, 2 +4 +) || | -2,1) 771-22-2+42
向量的線性組合:丽和丽為平面上兩個不平行的非零向量
任意向量可皆可表示的和成的組合 =x+y馆
.分點公式

ページ3:

11/12 Alx₁, y.), B(x, y), PJABLAY-16, AP: PB =m:n @pillow
P點座標(misms ny+mys
mtn , m+n
·求中點座標:(x+2 +2
.
三角形的重心:(
x1+X2+x3
3
1 4+1 +17
三點共線vs.不共線:
☆三點共線:
。
A①P②B 750P=20A+3081a+B=17
若AIP.B三點共線店=+(一)
店
ABP共線
3个月成立
*例:設ABC不共線,且=36+5C,令丽和交於
M點,若丽二店+
因前部,故前二大丽
AM = KAP = K 135 B+5AU)
3k+5k = 17 K = 1
*不平行的非零向量:
*若方不平行合同,方為不平行的非零向量)
P3
xx + y = 0, x = y = 0
181): (3-4+1) + (2x+y) 5 = = {{ + 118-y) 5, **, y?
{x-27+1=2
-2x+3y=18-y, x = 5, 7=2

ページ4:

*分點公式tps:直線y.s線段上的解
,若P在直線AB上,P有2解
若P在線段AB上,P有1解
*區域面積:
例:已知A14.1),B(1)3),為原點,設印=x+牛鸡
老啦,,求P點所成的區域面積
@pillow
TBC1,32
A
05x5 1,75451 1×2×2x (>0AB)=
4. 平行四邊形
700AB = 12-13
4/12-13)=224
009
重點題型:
求最小值:例:已知=(214),6=111)
且二十培,則計的最小值:(2)47++(111)=(2十七,十七)
~(2+)F(4)"後提出後後配方法得214+3)+20-18
t = -3 0 1 min 1 12√2
*以比例求對數:
EP=ZAP, BR=2CQ 1 APR = XAB+YAL
感
②
①
二号+(+)=+(一)=+前
*内心求座標:(使用内分比)
DABUIX, AB=4, BL=5, CA=6, 2 133 1), 116B1 = X BA+JEL
P4
g?
A
① 品為平分線:
AD: AL = AB: B
二4:5
角平分線

ページ5:

·
P5
①
BD=
,
=
肛
麻為平分線::D=BD=4号=12:8=3:2
@pillow
AB+
==#
*求座標連線交點:
.
流
△ABP內有一P,滿足二(崇,音)及丽丽+立前,
若AP連線交於M,前置部)
丽二城
.
B
7 BM : CM = 2:5
=
在座標平面上的△ABC中,PC的中點,在上且
AQ = 2QC, 21/10 PA = 14.3), PQ=11.57 $1) BU= (1,12)
A PQ = 1/35 PA+ 1/3 PU 7 * 11 P P C G N K P Q
→二段-→移向求
2203-府→利用所求出的式子代入
過△ABC的重心G的一直線和成,前分別交於D、E,已知
AD: DB-4=1 JAE: EU = 4:3
④
XA'
* 1913
FACIXÃE (A.C.EX 13131)
丽号位+主)=(飯+)

ページ6:

11A、C、E三點共線) @pillow
AB
AD + 1
(因A.B.D三點共線)
在△ADE中,G高的上一點,吾標=1(共線)
12
.
⋅ x = 1 /4 =) FE : EU = 4 = 3
7 #
3248JID 273, ABCD, EXE ADI, FE=ZED, FIEABE, FF = 3 FB,
176 CF KOBE 1B EP 16 12AP = X AB + YAU, 21 1211, y ) = ( 1/4, 1/
"E O/D F, P, CRM (α + B-1)
=x.
1/2 x + y = 1 3 4 x + 3y = 3
E.P.B共線:
AP = X AB + YAU = X AB + Y (AB+ AD)
= (x+y) πB + 2 + πE, (x + y 2 + 21/10 = 1 =2x+5y = 2
J W z Jj q 3 : { 4 x + 3y = 3 x = f q, yo #
2x+5y=2
如圖,兩直線OA、OB交於O點,若OP=xOA+yOB,則下列哪些選項中的(x,y)可使P點
A落在斜線區域或斜線區域邊界? (A)(x,y)=(1-1) (B)(x)=(4)
B
10
(x, y)=(- 1,-2) (D)(x,y)=(-2,1) (E)(x,y)=(√5,-√2)
1 / 14 = {x+y=1
750 g
☆補充:内心座標公式
坐標表示法:
若△ABC的三頂點分別為A(x,yi)、B(x2,y2)、C(xs,ys),
ax+bx2+cx3 ayi + byz + cy3
a+b+c
則△ABC 的內心坐標【為
Pb
□國:內心坐標 用邊長做加權平均。
a+b+c
°
B
角平分線好