平面向量的運用

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pillow

Senior High 全学年

平面向量的運用

2025.12.21 公開

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ノートテキスト

ページ1:

“平面向量的運用?”
* 柯西不等式:(向量形式
任兩個平面向量,則≤
等號成立於岵或和古其一為
* 柯西不等式:(一般形式了
設a1,a2,b1,b炆任意實數,
則[(a.)+(a)][(b)+(b]=[(a,bi)+(a+b)]"
*三角不等式:
1+1+1,且等號成立於方和方同向或其一般方
*例題(柯西):
設x,y匕正實數,2x+y=16,/+第二?(求Min值)
[LE+ (y)][()+("]=[[37+[57]"
1/2 1/2 = Any, 2-30, Yost, 80-16, X=2
718x56, y=100 to Minh 12734 #
*例題:(柯西)
@pillow
設a,b,C憑實數,若a+b+c=a+b+c=1,求C的範圍?
a²+b² = 1-c², a+b=1-0
[(9)+(67][1177117}}} || 97+ | 67}}
12-63 × 2 = (1-0) 79-20² = 1-0 +0²
*例題:(柯西)
720-00-8507-31535 5052#
設xy為非零向量,若不知4x+y是何值,求
88-34
的
14x²+y”

ページ2:

Max和Min值?
<b>x² + (y²² ] [ ( 4 ) + + 37³] = [(8x) + (3 y} ] }
75 = 18x6-341, Max: 5, Min: -5
4x+y
△ 三角不等式補充:
111和1+1的大小關係:
皆非六,同向:[1]=1+1
(目前古平行)、古反向:1+11+1
b
☆1+13+1
等號成立於其一為:/前方同向
or利用柯西不等式→
面積公式、二階行列式:
1756050517
@pillow
* = √ √ √ | |al|b|sino = + ||a|ib|siño = + ||||||(1-1050)
==
*四邊形面積:
.
-* à (a,, a₂), b (b1, b2) 143 = 73
√₁ = = | aib₂- a+b₁ = 1 | 2 | 23 |
*由à(a1,a2),(b1,b2)所張開的四邊形面積://
*平行向量的判定:
a ( a, a, b (b,, br), all 6, 271a, az |=0
*二階行列式:直行橫列
P22

ページ3:

*二階行列式特性:
ab
①行列交换,其值不變10]=181
②行(列)對調,其質變號121=81121
③行(列)成比例,其質為。
Ira a | = 0, 1 rarb] = 0
④任一行(列)乘以一倍,其值變為r倍:
|ra|2 = √ √ 22 ; rard | | -2/ab/1
⑤某一行(列)乘以K倍加到另一行(列),其質不變
3
| 9 arka | = 1 2 0 | | ; | otak drbkl =la | | |
⑥某一行(列)是兩行(列)的和,可拆開:
b
a+x
*二元一次方程式組,向量的線性組合:
@pillow
二元一次方程式組fax+big=c,對應平面向量線性組合.
= 1 2 3 2 2 1 1 2 { ax + b y = 0x
(C₁₁ Cr) = x ( a₁, a ~ ) + y (b₁, b₂)
*設平面上兩直線:Li:anx+biy=ci/Lz:ax+by=c2
15 m. /m²), α = (a₁, az), b = (b₁, b²),
立=(C1,C2)相交關係:
①恰有一組解:交於一點
m² + m² ( à 6 4 4 4 1 7 7 | 01037/70
② 無限多組解:直線重合
m₁ = m², a, b, c ≤ 1 a 4 z j
1 2 3 6 2 1 = 1 61 62 | = 1 2 1 0 2 1 = 0
!
3

ページ4:

③無解:直線平行
m₁ = mv, Ball by v kov za p q π 4 kj
92
b, bz
8182
bi br
*二元一次方程式組的克拉瑪公式:
9192
GI
916
9-
31s ax + boy = c₁ = | ab₁l, ox-101, byl, Dy-/a/ac/col
Ca₂x + b₂y = C₂
9-b2
若△=△x=△y=0,此方程組有無限多解
若△=0/△x,△y不全為0,此方程組無解
*例:就實數值,討論方程組{LI:kx+y=k+场
的解與幾合關係?
· 22:x+ (k-1) y = 5-k
8 = | * 32 | = k²-ak-} \ 0, (K-5) (k+1)*0, k#3;1
①K$3,1時,相交於一點
③k=3,53x+34=6,無限多組解,重合
(x + y ≤ 2
© k = -1 {√x+3y = 2 + 1 } > F % j
Lx-by-b
*例:K為實數且方程組5(2-K)+5y=0,若方程組
除了100)外,
30+14-479-0
還有其它解,則表示有無限多組解
-k 5
0=0=13-4-³× | = K - bk - 1 =0&k=1.1 #
①k=7
+ K-1
5-6x+5y=0 53x+5y=0 7 0.0 % 4 Z Z Ž Z 0
①、②皆印證重和
(3x-3y=0 (3x+5y=0
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