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高校生

全学年

数学

関西大学2025 数学

156

hoka95

2026.01.08 公開

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ノートテキスト

ページ1:

2025年度入学試験問題
数
注意事項
数K問
1. 試験開始の指示があるまで問題用紙を開いてはいけません。
2. 解答はすべて黒鉛筆 (HB) 〈シャープペンシルは, HB0.5mm以上の芯であれ
ば使用可〉で別紙解答用紙所定の欄に記入してください。
3.解答用紙右端の出席票に印刷されている受験番号を確認してください。 間違いが
なければ氏名欄に署名し、 切取線から切り離してください。
4. 試験時間は100分です。
5.問題は4ページで大問4問です。 余白は計算用紙です。
6. 解答用紙は両面になっています。
A43(25-001)

ページ2:

[I] 関数f(x) = xe-2x を考える。次の問いに答えよ。ただし,x>0に対して,
e-2x
が成り立つことを用いてよい。
(1) f(x)の第1次導関数と第2次導関数を求めよ。
(2)曲線y=f(x) の凹凸を調べ, 変曲点のx座標を求めよ。 また,この関数の
グラフの概形を解答欄の座標平面上に図示せよ。
(3) α > 0 とする。 曲線y=f(x), x軸および直線x=αとで囲まれる図形の面
積を S(a) とするとき, lim S(a) を求めよ。
a-∞
A43(25-002)

ページ3:

[II] nを3以上の自然数とし,xを1以上 (n-1) 以下の自然数とする。いま,赤
玉x個,白玉 (n-x) 個が入った袋の中から2個の玉を同時に取り出す試行を考
える。 次の
をうめよ。 ただし, ①
は数値で,
⑤
⑦
⑥ はぇとxのうち,一方または両方を用いた
(4)
式でうめよ。
(1)n=3,x=1とするとき,取り出した玉が2個とも白玉である確率は
① である。 取り出した玉のうち, 少なくとも1個は赤玉である確率は
② である。
(2)n=5,x= 2 とするとき, 取り出した玉が2個とも白玉である確率は
③ である。 取り出した玉のうち, 1個だけが赤玉である確率は
(4) である。
(3)nを4以上の自然数とする。取り出した玉が2個とも白玉である確率は
⑤
n(n-1)
である。 また, 取り出した玉のうち, 少なくとも1個は赤玉である
確率が1/2以上となるための条件は, ⑤ S ⑥ である。
(4)n=22 とする。 取り出した玉のうち, 少なくとも1個は赤玉である確率が
1/2以上であるときのxの最小値は
(7) である。
A43(25-003)
-2-

ページ4:

[II] 下の図において ∠AOB を0とする。ただし, 0 0 である。円 C, は半
<
直線 OA, OBに接し, さらに中心と点Oとの距離は1とする。 次に,円 C2 を,
図のように OA, OB および円 C に接するように0側に定める。 同様に,円 C 3
を,OA, OB および円 C2 に接するように0側に定める。 以下,この操作を繰
り返して,円
Ca, C5, Co,......, Cns
A
を順に定めていく。 また, t = sin
次の問いに答えよ。
とおく。
(1)円の半径と円 C2 の
半径を,それぞれtを用い
て表せ。
(2)自然数nに対して, 円 Cm の半径をntを用いて表せ。
(3)円Czの面積をSとしたとき, 無限級数 ΣSの和をtを用いて表せ。
n=1
(4)(3) で求めた無限級数の和をS(0) とおくとき, lim
S(0)
を求めよ。
0-0
・B
A43(25-004)
-3-

ページ5:

〔IV〕 次の
をうめよ。
(1) 方程式 28のすべての解を z1, 22, Zs とするとき,
|z1 - z2|+|z2 - 23|+|23-21|=
である。
①
(2) 座標平面に △OAB がある。 線分ABの延長線上に点D を, OB が ∠AOD
の二等分線となるようにとる。また,∠AOB OA=3,OB=2√3 と
=
6'
する。このとき,OD をOAとOB を用いて表すと,
OD = ②
OA + ③
OB
である。
(3)関数f(x)=xx (x>0) を微分すると,f'(x) =
5
また,f(x) の最小値はe
である。
④
2+1となる。
(4) 曲線y = 2x- (x-1)|x-1のグラフを,x 軸方向に α, y軸方向に6だ
け平行移動した曲線をy=g(x) とする。 このとき, すべての実数xに対して,
g(x) = - g(-x)が成り立つとき,a=
⑥
b = ⑦
である。
(以上)
A43(25-005)
- 4-

ページ6:

[I] f(x) = x² e="
x20のとき
2K
(1)
(2)
1
<
f'ox
=
(x²)'. é
-2x
+
-2x
=
2x
e
+
2x
= 2x
e
=
12x
-
x
+ x
2
2x² ) e
= -2x (x - 1) e
f" (x)
=
=
=
2
2
2
e
-2x
2x
2x
e
e
-2x
-2x
(-2x)
- 2x
(12x-2x²) e-^ \"
-2x
2 | (x-x²) e-²* }"
2 | (x-x²) e-2 +
=
2{11
-
=
=
2x
2x) e +
(-2)
(答)
(x-x') ( e-²*)"}
(x - x²) e-²x
(-2x)}
2 { (1-2x) e-1" + (x-x²) e-z^(-2)}
{
2 (1-2k -2x + 2x²) e
e
=
2
(1
4x +
+2x²)ē
2
=
2 (2x
-
₤" 0x0
2x²
2 x
= 0 とすると
4x+ + 1 = 0
+ 2 (-2) n +
->x
4x + 1)e
-2x
-2x
(答)
x
= 0
(-2)±
(-2)
- 21
2
2 ± 4-2
2
=
2
女
f(x) a
凹凸は
2-12
2+12
x
ťou
fu
2
2
+
0
0

ページ7:

変曲
9
x =
x座標は
2
2
(谷)
f'(x)
=
-
0とすると
2x (x-1)
x = 0, 1
f(x)の増減
x
f'oo
f(x)
f(0)
f(1)
-
=
0
0
0
2
= 0·
e
+
T
-2.0
2 -2.1
lim fur
x--1
lim fix)
e
0
-2
=
0
= 0
↓
2x
=
lim
=
X > 0 の とき
-21
e
(
x
2x
lim the-24
= ∞
A
0 < x
- 2x
e
より
0(x
-2x
e
2
1
(x
3
lim
= 0
X-100
x
はさみうちの原理より
-2x
<
x
lim xe
-2x
= 0

ページ8:

グラフの概形は
次のようになる。
(3)
a> o
5(a) =
=
=
a
Soª² f ( x ) d x
2 -2x
1 x² e²²^ dx
2
ト
'dn
22
=
x² (
-
e
-2x
a
心。
02-2 |
2+12
x
2
2
e-1") du
=
2
=
2
a e
2
2
a e
-2 a
2x.
(-
-2 a
+
×
-
2 -2 a
e
-
+ e - 1*) dn
1
-2x
e
-2x
x)'da
a
-**** (*(-)]
[ × ( - ½ ½ e ²² * ) ] °² - | uit = e^³) da
H
a
2
+
2
-2
-2a
e
a e
+
½ ²
-a'"
2
2
/
Te
-2x
dx
=
2
a
2
2
a
2
2
a
2
-2 a
I
-2 a
e
a e
+
2
2
-
e
-2x
-2 a
e
-2 a
a e
2
-2 a
e
-
-2 a
a e
-2
- — (eza - e²)
4
a
+
2
a

ページ9:

ao のとき
0
a²
-2 a
e
-2 a
e
<
より
-2
6th cars acaecat
a³
<a
2
-20
0 <a
a
lim
= 0
076
a
はさみうちの原理より
-20
lim a e-² = 0
-2α
aoのとき
o<a e
-20
e
より
"C" is acac" cas
a'
-2
lim
0
a²
12
-2 a
e
a²
みうちの原理より
lim 5(a)
017
-2 a
lim
a e
= 0
9-1
=
limt-I
9+6
2
1
2
a
2
1
(答)
-2a
e
0
-
-2 a
2 a
a e
0
+
+

ページ10:

[Ⅱ]
n≧3
| ≤ x ≤ n - 1
赤 ル
白 n-x
(1)
n=3 x=1
赤
2
3
2個とも白
2
C₂ 2C2
=
3 C 2
3 C,
3
少なくとも1個は赤
は
2個とも白の余事象
1-1
3
=
3
(2)
n=5,
赤
F.
白
2
3
5
x=2
2
(2)
2個とも白
3.2
3C2
2.1
3.2
3
=
(3)
③
5C2
5.4
5.4
10
2.1
1個だけが赤
とき
の
赤が1個 白が1個

ページ11:

(3)
n≥4
赤
白
n-x
n
2個とも白
n-x
h
2 C, X 3 C,
5C2
2
×3
2.3
3
=
=
(4)
5.4
2.1
5.2
(n-x) (n-x-1)
C2
2.1
n (n-1)
2.1
少なくとも1個は赤
2個とも白 余事象
の
(n-x)(n-x -
n(n-1)
この確率が
以上より
2
(n-x)(n-x-1)
+
n(n-1)
2
?
2
(n-x)(n -x- 1)
n (n - 1)
(n-x)(n-x-1)
n(n-1)
(n-x)(n-X- 1) 5
?
2
=
(n-x)(n- -x-1)
(5)
n (n-1)
n(n-1)
(6)
2
(4)
n=22
(3)より
22 (22-1)
(22-x)(22-x-1) ≤
2
(22-x) (21-2) (22-21

ページ12:

(x - 22)(x-21) ≦23|
x=6のとき
(6-22) (6-21)
x=7のとき
=
-16
(-15)
=
=
240 >231
(7-22) (7-21)
-15-(-14)
=
210 <23|
求める最小値は7
(谷)
y
y=(x-21)(x-221
240
y=231
210
21
67
0
x

ページ13:

[Ⅱ]
LAUB =
=
0 < 0 <
0
元
2
(1)
t =
Sin
2
Chの半径を
rmと表す
0
Lin
0
2
t
=
-02
A
B
A
=
t
(谷)
斜線部分の直角三角形より
0
r - 12
Sin
2
tIt
t² + tv ₂
tr₂+ v z
(t + 1) r₂
=
=
t
+ √₂
t + r₂
= t
=
t
t
=
t
t'
t'
なので
(谷)
t + 1 & 0
t> σ F )
12 =
t (1-t)
(2)
Sin
94
2
1+t
=
Vn-1 - rn
n-1
t
=
rn - rn
+
t (rnrn) = rn-1 - kn
0
02
B
A
Cn-1
01
2
B

ページ14:

trn, thn = Vn-1
-
- Vn
trn +
rn
=
Vn-1 - t√n -
(t + 1)
r n
=
(1 - t ) rn-1
t + 1 = 0
tj 9 2"
|-t
=
Fn-1
1+t
数列{ru}は
1- t
公比
の等比数列
I + t
|– t
n-1
=
1+t
== t |
l-t
n-1
1+t
(3)
S = R
t
100(1)
=π
t |
t
2
+111-113-1
= π t
n = 1
S n
=
Do
Ert
n = 1
0 < 0 <
1+ t
n-1
0
π
より
UC
2
2
4
Lin O(
Lin
(
2
o < t <
♫
1-t > 0,
1 + t > 0
0 < 1-t < |
< 1 + t
1-t
0 <
<1.
1 + t
Sin
元
4

ページ15:

041
I S n
h = 1
=
=
1-t
πt'
2
<より
1-(1-0)
(1+t)²
(1+t)² - (1-t)³
(1+0)²
=
(4)
510)
5101
0
π
((2-1)-(2+1)) ((2-1) + (1+1)}
(l + t )²
2.2 t
πt (l + t ) ³
4
(答)
Sin
2
( 1 + sin 3)
=
4
π
兀
0
0 2
sin I (I+ sin 1919) ²
Sin
2
40
4
0
Sin
.
( 1 + sin 2)²
0
2
2
0
2
( 1 + sin 2)²
2
=
Ein
44
44
2
(1 + sin.
2
lim
070
5101
0
πC
8
π
=
+
8
1
(1+0)³
(答)

ページ16:

(1)
3
z = - 8
解≧
"
2
1 2 3
z
(2+2)(22
3
-
Z
+ 8
+
3 -8
23
= 0
=
0
2')
2.2
+
= 0
-22+ 4 ) = 0
2 + 2 (1) 2 + 4 = 0
2
(2+2)
2=-2
(-1) f
(-1)-1·8
2
- 2
2 =
=
| I
-4
=
1 ± 3
=
1 ± 3 i
2 =
=
2
2
'
| ±
22
= 1 + 3 i 23 =
1-Bi
とすると
|2,-22|-|-2-(1-3i)| = | −2−1+3i|
= | -3 +√3i|
=
19+3
=
(-3)+1)^
=
| 2
23
=
|22-21|-|(1+31)- (1-/3i) |
=
=
+
· i
1 +
Bil
=
23 i
=
23i
| 2-2, 1-3i) - (-2)
2₁| = |||-
3
= |1 - √3 i + 2 21
√√3*+ (−√3)*
=
=
112
=
2
2/3
=
=
|
| 3 - √ i|
19+3
|21-22|+|22-23|+|23-21
zil
23 + 2√3 + 23
=
63

ページ17:

[別解〕
ro
=
+ 1 cos 0 +
'
0 ≤ 0 < 2 R
isin0 )
とおく
3
Z =
cus 0 +
ising)
ドーモアブルの定理より
3
2 =
r
また
-
8 =
=
(cos 30 + i sin 30)
.
8
(-1)
tisint)
8
3
=
-
8
r³ ( cos 30 + i sin 30)
r
=
8
30
rは実数より
=
=
81
LoTR + i sin th
= R + 2kk (k = 0, 1, 2)
23
r= 2
元+2k
=
=
3
(k=0,1,21
3
2
.
5
3
A
=
=
|21-21|=|-13-
12-
| 21
2
6
-
221
=1-2店|
23
=
=
23
122
22|+|22
+
2
-
23
=
23|+
+
2/3
2
22
- 2
-B
2
-
2. |
=
2/3
-
2

ページ18:

(2)
OB: 0 A =
2
厚:3
=
2.3 :33
=
2:
3
y
D
△ BOA は
直角三角形
LBAO =
90°の
12/3
LAUD
=
2 X LAO B
πC
元
= 2 ×
=
3
OD
Los LAOD=
o A
=
OP
Cos LAUD = 0 A
OD CUT
=
3
3
OD
2
=
Op
=
6
0812 LAODの =
AB: BD
=
=
=
等分線より
O AO D
3
:
6
2
+ B12
0
R
3
x
AD
=
B
=
AB + 2AB
A
=
3 AB
:
OD
=
11
O A
+ 3 AB
=
OA
+
} (OB
=
0 A
+
301
=
-
20 A + 30 B
-
0A)
30A

ページ19:

(3)
f(x) = x
(x>0)
lug fix = log x^2
2
log f (x) = x² log X
f(x)
t'ou
foo
=
=
=
(x²)' lug x + x² ( log X)'
2 x log x +
2x log X
x
+ x
1 x
2
x
=
(2 lug x
+
:
f'(x
=
( 2 log x
+ 1) x
fw
=
(2 lug x +
1) x
xxz
=
( 2 log x + 1) x
f'(x)=0とすると
X > 0 5 1
12 log
x + 1 ) x
2 log x + 1
2 log
X =
(²+1
+1
x
= 0
= 0
log α = -.
x =
e
2
f(x)の増減表
x
f'a
fw
0
-
e
e
0
+
f(x)はx=1で最小
fle-t) = (et) le-ti = (e-tjet
最小値
=
les jé
=
⑤

ページ20:

(4)
y = 2x (x-1)|x-1|
=
|x-1| =
-11=1
-
--
x-1
(X ≤ 1 )
(x-1)
(x < 1 )
x≧1のとき
(x-1)(x-1)
y
=2x
(x-1)|x-二|
= 2x-
= 2x
=
2K
-
-
-
-2x+1)
11
=
-
+
(x²
x2+
λ -
(x²-4x)
-
2x-1
={(x-2)-4}-1
=
-
=
-
x1のとき
g
= 2x
-
+
(x-2)+4-1
(x-2)^+3
=
2 k
=
2 x
=
2x
+
2
= x + 1
x --
(x-1)|
(x-1)(-(x-115
(x-1)2
2x+ + 1
2
①
のグラフは次のようになる
0
2
x
g(x) = 9(x)
-
g(x)の
グラフは
原点に関して対称
y=f(x)のグラフは
①のグラフを
x軸方向に 1.g軸方向に
平行移動したもの
2だけ
a
=
b
2