ページ3:

Ⅲ 有理数からなる数列{a}, {bm} (n=1,2,3....) が次の式を満たす。
(2+√5)" = a + √5b
[1] a₁ =
ア b1=
イ
である。 an+1, bn+1 を a, b を用いて表すと,
an+1= ウ an+ I b. b+1 = a + オ by
となる。 ただし, ウ
エ
オ は有理数である。
,
〔2〕 Cn=an+√5bu, dm = an √5bm とおくと,Cw+1 = カ CH.
dn+1 =
キ
d" であり, また, Cdm をnを用いて表すと Cnd" =
ク
である。an, bm の一般項は
+
コ
ケ
)" - (
コ
a =
bm=
2
2√5
であることがわかる。 ただし,
コ は定数である。
〔3〕 自然数nに対して, S, = 2 ak
k=1
lim S,, =
サ
56 とおくと.
k=1
+ シ √5
11→∞0
80
である。 ただし, サ
シ は有理数である。
- 3-
(Mab2)

ページ4:

ⅣV 多面体の2つの頂点が1つの辺の両端であるとき, その2つの頂点は隣接して
いると定義する。
以下,多面体の頂点から頂点に移動する動点について考える。 頂点にある動点は,
その頂点に隣接する頂点のいずれか1つに同じ確率で移動する。 n を0以上の整数
とする。
〔1〕 図のような正四面体の、 ある1つの頂点について, それと隣接する頂点は
ア 個ある。 正四面体のある1つの頂点から出発した動点を考える。 動点
が3回移動した後に出発した頂点にある確率は イ である。 動点が"回
移動した後に,出発した頂点にある事象をA" とする。 ただし, A は全事象と
する。このとき,n ≧ 1 について条件付き確率は
PAR-1 (AR) = ウ |Pan(Am) = I
である。P(A)=1より, P(Am) をnの式で表すと, P(Am) =
オ で
ある。
図
〔2〕 正八面体のある1つの頂点について, それと隣接する頂点は カ 個ある。
正八面体のある1つの頂点から出発した動点を考える。 動点がn回移動した後
に出発した頂点と隣接した頂点にある事象をB, とする。 ただし, B, は空事
象とする。 このとき,PB6- (Bm) = キ である。P(B)=0 より 動点が
n回移動した後に出発した頂点にある確率をn の式で表すと ク である。
-4-
(Mab②)

ページ5:

I
A BBC + CA =6
A B = x とおくと
B C = A B + I
B C = x + 1
より
x +
( x + 1 ) + C A = 6
ア
x
A
2x+1+CA = 6
CA
6-2x-1
B
x + 1
C
CA =
2x+5イ
AB > O,
BC > O,
CA > o
X > O
X > O
,
X+1 > 0
x >-l
-
-2人+500
-2x)-5
✓
5
2
x > o
x>-1
x ←
5
0 < x <
2
三角形の成立条件は
| AB- BC|< CA ( AB + BC
|☑
-
(x+1)|< 2x + 5 < x + x +
-
|x-x-1 |<-2x+5 <2x+1
③より
④より
|-
<
<
| <
-
-
2x + 5
< 2x+1
2x+5
< 2 x + 1
2x + 5
2x + 5 < 2x +
2K
<5-1
2x < 4
x<2
-2x-2x<1
- 4x < 4
-
x > \

ページ6:

1 < x < 2
より
| < x < 2
ウエ
余弦定理より
AB+BC-CA'
cos B
2 AB BC
AB. BC cos B
=
AB+BC-CA³
2
2
x² + (x+1)² - (2x+5)²
2
2
x² + x² + 2x + 1
(4x² - 20x +25)
=
2
=
2x² + 2x + 1
2x²+22x
2
-
-
2
24
4x
+20x
25
2
=
x
+ 11 x
-
12
オ
AB² BC² sin² B
=
AB'. BC² ||- così B)
= AB BC - AB BC" coś B
=
x² (x+1)-(-x+11x-12)
= (x(x+1)+(-x² + 11x-12)}
(x(x+1)-(-x² + 11x-12)}
=
+ X
-
=
=
=
x
2
+11x-12)
2
+1 + x² - 11x+12)
(12x-12) (2x² - 10x + 12 )
12 (x-1)-2(x 5,+6)
24 (-) (-5 t 6)
=
24 (x-1) (x-2) (x-3)
カ

ページ7:

△ABCの面積をSとおくと
S
=
ABBC in B
2
=
1/
24 (x-1)(x-2)(x-3)
2
2
26 (x-1)(x-2)(x-3)
f(x) =
=
16(x-1)(x-2)(x-3)
(x-1)(x-2) (x-3)
とおく
x-2 =
t
とおく
-|<x-2<o
| < x < 2 より
f(x)=
-l< t <°
(x-1)(x-2)(x-3)
= (x -2 + 1)(x-2) (x-2-1)
=
(t + 1) t(t-1)
=
t (t+l)(t - ()
=
t
(t² - 1)
t
- t
g(t)
3
=
t³ - t
とおく
g'(t)
= 3 t 1.
g' (t) = 0 とすると
3t2-1 = 0
3 t² = 1
-<to より
=
+---
√3
3

ページ8:

g(t)の増減
t
g'(t)
g(t)
-
...
+
0
3
g(t)は
t =
f(x)は
最大値
x
-
0
3
で最大
B3
2 =
で最大
3
x =
2
J3
3
ク
3
11号)停パート)
-
3
=
3
33
27
厚
9
2/3
=
9
+
+
-
E
3/3
9
3
:
の
S 最大値は
2
原
23
( 35 ) ·
9
3
2.3
3
= 2
=
=
2.
2
4/3
-
+
=
2
ケ
3-
-xx

ページ9:

I
=
ex.
x 20
P : f(x) = 0
最大の
2.718 <e < 2.719
f'(x) = ex-1
(1) f'(x)
f'(x)
0
=
と
ると
ex - | = 0
e
=
x
x
=
1
log |
0
f(x)の増減表
x
Ku
two
70018
-
L
0 +
x = 0 のとき
A f (0) = e°-0-20
- 20
ア
= -
19
イ
lim fixi = lim lex-x+20) = 0
x--1
lim fix
=
lim (e" -x+20)
=
lim (e^ (1-1 1 ) + 201
ex
y
= p
y=√(x1
y=f(x)は次のようになる。
D
P
方程式
f(x) = 0
の解は
-19

ページ10:

y=f(x)
のグラフとx軸の共有点の
x 座標と
致する
解の個数は 2個
f(20)=20
/y=ex
(2)
n
10
n
f(19) =
=
=
e
e
e
-20
-19
-19
-
20+20
vo
19+20
-1 <0
f(x) coを満たす
整数人の中で
最小の
ものは
-19
I
①
より
より
<e (
ntl
10
< 10 e < n + 1
n < 10 e
①
loe < nt l
In cloe (10x 2.719
n <
27.19
10 × 2.718 < 10e <
27.18 < n + 1
26.18 <n
26.18 < n < 27.18
n
27
n
m+1
‹ e
4
4
n
< 4 e < n + 1
n +1
オ
-20
-19
-19
D
つ
-19
e
-19
y=f(x)
x
x

ページ11:

(3)
③ より
n< & e
4ec n+1
n < 4 e < 4× 2.719
n <
10.876
より
4e (n+1
4×2.718<
10.872 < n + 1
9.872 < n
9.872 < n < 10.876
n
=
10
a > |
9(x)
= a-x-20
I' c^) = a² log α = |
g'(x)=0とすると
a> | 5 )
log α = 0
X
a log
a
a
a
-
= 0
=
a" log
log α > leg / 20
7697"
a"
loga
カ
9(x)
x
x =
=
の増減表
g'(x)
9 (X)
log a Ja
log 1
-
log a
log lisa
log a
log (liga)
log (logas
luga
0
+
log (loga)
log a

ページ12:

g(x) は
log (loga)
lim
X-10
x =
g(x)
=
los a
のとき最小
キ
lim la-x-20)=-6
lim
g(x)
=
lim (a"
-x-20)
x1+00
=
lim (a^ (1-^ ^-^=) - 201
ar
= 8
q<p
が成り立つための
必要十分条件は
y=g(n)
g (P) > o
a² -
P
20
> 0
ar P+20
5
-19
f(x)=
e"
- x-20
f(p) = 0 より
e
ep
P-20=0
=
P+20
⑥ より
ap > ep
a
ve
ク
(4)
f(x)<Oを満たす
最小
の整数とは
(1)
より
-19.
(2)
より
10
<e <
4
qP
x

ページ13:

(
=
e"
x-20
3
f(3) = e³
4
1331
64
-
3
-
3 - 20
23
1472
< 0
64
f(4)
=
2
e"
5
2
-
625
4
4
-
- 20
24
324
=
> 0
16
16
< 0
f(x)
最大の整数xは
を満たす
3
-
(-19) + 1
3 +19 +1
=
23
(個)
ケ

ページ14:

I
12.
+
√5)"
=
ant
5 bn
(1)
(2)
12+ 5)'
2 + 15.1
=
=
a
+
a
a= 2
21
=
5 b
+ 5 þ
ntl
(2+55)
: 7
=
anti + √5 bn.
n +1
ア
n+ 1
(2+ √5) = ( 2+ (5) (2 + (5)"
= ( 2+ √5) (an + √5 bn)
=
2 ant 2/5 bn
+
h
√5 an + 5 b n
=
(2an + 5 b n ) +
5 l ant
2bn)
:
Anti
=
2 An +
5bn
ウエ
buti
=
a
h
+ 2 bn
J
C n =
du =
ant
√5 bn
an
√5bn
Cutl
=
anti
+
= 1204
√5 bnti
+5bn)
5 bu
5) an
=
2 An +
=
12
+
=
12
+
+
15
( a n + 2 b n )
15 an
+
25b4
+ ( 5 + 2 √5) bu
(2+5)+(√5)² + 2/5 } bn
a {1/5)²
h
= ( 2+ √15) an +
√5 ( 15 + 2) bn
=
(2 + 15 ) a
+
15
(2 + √5) bu
n
=
(2 + 15 ) ( an +
5 b n )
=
(2 + √5 ) c n

ページ15:

Anti
=
Anti
- √5 bu+1
=
1204
+ 5bn )
=
2 a n + 5 bn
-
-
√5 ( an + 2 bn)
5 an
-
25bn
=
2 an
-
5 an
+ 5 b n
-
2/5bn
=
=
(2-5) an- {215 ( 15 ) } bn
(2-5)an-(25-5) bn
(15)}bn
=
(2-√5) an - 5 (2-5) bm
n
= (2-15) (an - 5bn)
=
( 2 - 5 ) d n
キ
Cntl
=
12+
( 5 ) C n
数列{cm}は
公比2+
15 a
等比数列
C n =
(2+151"-1
= (a + √5 b₁) (2+ √51"-1
店)
=
+
551)
2+
5)'
n-1
=
12+ 5)
n
dnti
=
√5) dn
数列{dn}は
=
公比2-15の等比数列
dn
h-1
-
d, 12
= (a. - √5 b₁) (2-√5) "-1
= (251) (2-√5) "-1
= (2-15)
こ
Cnd n =
( 2+ √5) " ( 2-15)"
= {(2 + 5) (2-15)}"
=
=
=
12
n
{2-1√51'3"
14
-
5)"
(-1)"
7

ページ16:

{
Ch +
du
=
C₁ =
dn
=
a n + √5 b n
an
2 an
-
5bn
2 an
=
Cn + du
an
=
Cu + du
2
2 + √5)" + (2 - 15)"
2
(3)
5n
Cn- dn
=
=
=
25 bm
n
k=1
h
E
k = 1
= L
bn
ak
1 ak
=
=
=
-
2 15 bu
Cn - du
C
2√5
dn
(2+√5)" -(2-151"
h
2√5
√5 I bh
k = 1
5 bh)
(2-√51k
4 < 5 < 95 )
/ 4 < 5 < √9
2 < 5 < 3
- 2 >5 >-3
- 3 <
-
-
-132-
2012-√5 < 1.
5 < -2
√5 < 0
:
lim Su
=
N+P
ケ、コ
ケ、コ.
1 an- 15 bh
=
dk より)
n
lim Ľ (2-√51
k=1
2-
1-(2-15)

ページ17:

2
2
5
1-2+15
5
-1+5
2
店5) (55+1)
155
-
2
55+2
111/5 + 1)
-
5-15
5-1
55 3
3
4
4
-
+
√5
(答)

ページ18:

IV
>
no
(1)
9
頂点
P,
隣接する頂点
3個
ア
3回移動したあと
出発した頂点にある確率
一回
の移動
で
もと
の
頂点から別の頂点へ移る
P2
2回移動したときに
P&
出発 頂点
の
とは別の頂
にあればいい。
P3
=
3
9
3回目にもとの頂点に移る
2
3
.
2
P₁ = P₂
+
P3
P,
イ
(P3,P4) (14)
An
n回後
出発した点
Pan (Am)
P (An-in An)
=
P(An-1)
(n-1)回後
出発した点にあるとき
n回後
出発点とは 別の点にある
An-in An =
P (An-in An)
0
An-
PAm. (An)
=
==
=0
う
Pan-1 (An).
=
P(An-1)
P(Am-in An)
P(An-i)
(n-1)回後
出発した点にないとき
n
回復
出発した点
に
ある確率は
3

ページ19:

Pani (An) -
P(An-1
n An)
=
P (An-1)
P(A n ) =
P(An - 1)·0
+
=
1/3
I
P (Ar-i) |
(アエより)
= (1-P (^_-1) |_ / /
✓ P (An-1) +
3
P ( A n ) = — — — P ( An-₁) +
3
3
1/3
d
=
1/3
d +
①とおく
3
P(A) - L
P(An)
-=
3
α |
(2)
①よ
よう
32
=
4α
=
=
-
α + 1
より
=
4
3
P ( An) - — — — — — — ( P(An- ) - ( - )
4
数列{P(AW)-文は公比-/1/3の等比数列
い
P(A.) - —— = (P(A.) - — }(-)"
4
= (P(A.) -—-—= | | -—=— ) "
(1-4)(-)
"

ページ20:

(2) 正八面体
P(An)
=
+
隣接する頂
い
4個 カ
Bn
n回後
出発した頂点
の
隣接した頂点にある。
3
ト
4
3
n
n
(n20)
P1
P2
P3
オ
PlBm-l
Bn)
P₁
出発
P Bn - 1 ( B )
P(Bn-1)
P2, P3, Pa, Ps
隣接
例えば (n-1)回後
P2
その後
n
回復
移動できる
P₁
/
P3, PSP6のうち
Pと隣接しないのは
· P Bn-1 ( Bn ) =
P ( B n- ^ B n )
P(Bn-1)
'
2
=
2
P ( B n -, ~ B n )
P Bn - 1 ( Bn ) =
P(Bn-1
例えば (n-1)回後
P2
その後
n
回復
移動できる
Pi, P3, Ps,P6のうち
P」と隣接するのは
PBm-1
( B n )
=
P32
P ( Bn -, ~ B n )
P(Bn-1)
P5

ページ21:

Bu
Bn-1のとき
11
2
4
例えば
P2
から
P3. P4
・移動
確率 1/2
または B-1のとき
例えば
Poから
P2, P3 P4 P5へ移動
P(Bn)
=
P(Bn-1)
+ P(Bm-i) |
2
P(Ba)
=
ß
P ( B n ) - B
3
より
23
=
11/21P(Bm-1)+11-P(Bm-1)}
-
2
P(Bn-1)+ +
P(Bn-1)+1
B
+1
③
とおく
✓
=
-
33= 2
=
2
3
2
{P(Bm-1) - B}
B+2
ß
より
P(Bm) - 1/1
2
11/2/1P(Bm-1)-
2
3
1: 231 ( 1 (P-) - 3 | 10 公
2
は
1/12の等比数列
公-12

ページ22:

An
2
↑ (Bm) - | | = { P(B) | | (-)
P n
3
2
n-1
- \ P (P.) - ³ ³ ³ (¯½)²
(Bo)
2
3
n
P ( B n )
=
2
3
-
„ ( + - ) ( — — — 0 ) =
2
2
3
2
n
+
2
3
Bn-1
のとき
Pn
移動
例えば P2
からPiへ移動
確率 1/
4
または
Bn-lのとき
Pi
移動
(n20)
P6からP」へ移動することはない
P(A) = P(B-). — — + 1 (Bm) · 0.
4
P(An)
2
3
n-1
2
+
3
n-1
2
+++-+-+
=
n-1
2
(n-130
n?」 のとき)
(n=0のとき)
n-1
-
テトラ (n21のとき)
ク