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B 8 令和7年1月進研記述高2模試@自学 P(x)=log2(x-3)+log2(8-x)がある。 (1) P(4)の値を求めよ。 また, xのとり得る値の範囲を求めよ。 (2) P(x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。 (3)不等式 10g(2'-3)+log2(8-2')≦tを満たすtの値の範囲を 求めよ。 (配点 40)
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自学 © Akagi P(x)=log2(x-3)+log2(8-x) (1) P(4)=log2(4-3)+log (8-4) 真数は正だから = log2 1 + log2 4 x-3> 0 かつ 8-x > 0 = log2 1 + log2 22 よって = log2 1 + 210g2 2 =0+2×1 =2終 3 <x<8
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25 24 Y …① 3 自学 © Akagi (2) P(x) =log2(x-3)+log2(8-x) =log2(x-3)(8-x) =log2(-x2+11x-24 ......① Q(x)=-x2 +11x-24とおくと 25 =-x-1213+2/2 4 11 3<x<8より,Q(x)はx=1のとき 2 25 最大となり,最大値をとる。 4 1|2 8 x 11 底2>1より, ①は増加関数だから, x=- のとき最大値 2 25 P. Max )=log2 = log2 52 - log2 22= 2log, 5 - 2 をとる。 X
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HOAkagi (3) log2 (2'-3) + log₂ (8 −2') ≤ t 2 log₂ (2' - 3)(8-2')≤t log 2 (X-3)(8-X)≤log2 X 底2>1より (X-3)(8-X) ≤ X t = log2 X 2' = X ※真数は正だから 3 < X < 8 X2-10X240 (x-4)(X-6)≥03<X≤4, 6≤X<8 3<2' ≤4 <log₂3<t≤log₂ 4 .. log, 3<t≤2 6≤2' <8< log, 6t<log2 8 を解くと 2 .. log, 6≤t<3 ,log, 3<t≤2, log, 6≤t<3
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