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令和7年1月進研記述高2模試@自学 B7 関数 f(x) = x3-9x2+ax-2はf'(1) =0を満たしている。 ただし, αは定数とする。 (1) αの値を求めよ。 (2) y=f(x)の増減を調べ, グラフをかけ。 また, cは正の定数と する。 0≦x≦cにおけるf(x)の最大値が5であるとき, cのとり うる値の範囲を求めよ。 (3) 方程式 f(x) = k (kは定数)が異なる3つの実数解 α,β,yを もつとする。 α<0<β<yであるとき,kのとり得る値の範囲を求 めよ。 また, このとき, yのとり得る値の範囲を求めよ。 (配点 40 )
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HOAkagi (1) f(x)=x³-9x² + ax-2 x で微分すると f'(x)=3x²-18x+a f'(1) = 0 より 3.1² - 18.1+ a=0 よって a=15
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自学 © Akagi (2)(1)より 微分して f'(x)=0とすると f(x) の増減表は f(x) = x3 -9x2 + 15x - 2 f'(x) =3x²-18x+15=3(x-1)(x-5) x=1,5 X 1 ... f'(x) + f(x) 0 - 5 0 + 0 5 -27 よって, y = f(x) のグラフは YA 5 0 +27 1 5 + 1 2 - 48
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自学 © Akagi (2) つづき f(x) = 5となるxの値を求めると x3-9x2 +15x-2=5 x3-9x2 +15x-7=0 (x-1)(x-7)=0 x=1,7 よって, f(x) の最大値が5となるcの値の範囲は YA 5 0 1≦c≦7 +27 7 5 x
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自学 © Akagi (3) ◆ 前半 f(x) =kが異なる3つの実数解をもち, α < 0 であるのは 曲線 y=f(x)と直線y=kが異なる3つの実数解をもち, かつ, a<0であればよいので -27 <k < -2 終 YA 5 5 -2 B a r +27 x ▲ 後半 y=f(x)と直線y=-2の交点のx座標のうち, いちばん でっかいものを求める。 x3-9x2 +15x-2=-2 よって, yのとり得る値の範囲は ∴. x3 -9x2 +15x = 0 ∴ x(x2 -9x+15)=0 ∴x=0, x= 9 + √21 9 + √21 2 9 ±√21 2 5<y< 2
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