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3 自学 数学Ⅱ 4x-y+6≧0 連立不等式 2x +3y - 4≦0で表される領域 Dがある。 |x-2y-2≦0 (1) 領域 D の面積を求めよ。 Y4 領域 3つの直線をお絵かきしてみる。 A 2 領域 Dは△ABC の周および内部。 底辺は B -2 -1 2 x BC = √(2 + 2)2 + (0 + 2)2 = 2√5 高さ(A から BC へ下ろした垂線)は |-1-2-2-2| 7 h 12 + (-2)^ √√√5 よって、面積は2√5× 205×75+2=1 C -2
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(2)点(x,y)がこの領域内を動くとき、x-yの最大値と最小値を それぞれ求めよ。 領域における最大最小 x²-y=kとおくと、 - y = x2 - k……※ A -k んが最大、すなわち-kが最小となるのは B 放物線※が点 C(-2, -2)を通るときだから x k=(-2)^-(-2) = 6 kが最小、すなわち-kが最大となるのは、放物線※と直線AB が接するときだから、放物線と直線 AB が重解を持てばよいので [y=x2-k 2x+3y-4=0 2x+3(x²-k-4=0 |-k ...3x2 + 2x + (-3k-4) = 0 ⇒ 判別式 = 22-4.3 (-3k-4)=0 13 ∴.k = 9
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(3) 領域 D のすべての点(x, y)が、 x2 + y2 ≦ a を満たすような αの値 の範囲を求めよ。 領域と円 x2 + y2 ≦aは、中心(0, 0)、 半径√a の円の周および内部。 よって、 △ABC が円にすっぽり 入ればよいので、 点C(-2, -2) より -√a 4 √a B Na (-2)^+(-2)^ ≦ a ..8a -√a
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