ページ3:

(3) P4, Q4 をそれぞれ求めよ。
P4, A3 <5 p'> b₂ < 5 b` 04=5
Pra₁ = 3) = (³)² = 125
5の倍数以外をひけばよいので、店品店
P(as=4)
8
14
+
+
16
25 5 25 5 25
5の倍数をひけばよいので、
26 2
=
125×10 125
よって、P(a,<5,04=5)=4+76
P(bっく5)を求める
b3=3.4
125×5
80
=
125
125×5
P(b2-3)1.Atb4)=3×(1+(1/2
よって、P(bo<5)
ゆえに、
P4.
=
16
125
x
5
=
25
b4aa<5かつbっくちかつb4=5
Plas-5)= Pras=5)+P(as<5.Qx=5)
(4) P5, 95 をそれぞれ求めよ。
Ps aa<らかつbaくらかつas=5
P(ax=4)を求める。
PC Q4=4) = P(A3=³) × — —¯ + P(a³×4) × 3ª
よって、
+
26
1255 125
305
=
125×5
61
=
125
Plaec5,065)=6x- 61
P(bass)を求める。
125 5
=
625
PCbx=4)=P(b3=3)x1/2+P(bz=4)x/2
よって、PCb+<5)=1/1
48
16
十
125
125
64
=
125
ひゅく5である確率は、a-5の余事象であるから、
64.
Prax<5)=1-
125
P(bo<5,ba=5) そめる。
P(bo<5,645)=PCbs=4)x/2+P(b3=3)×2/
61
=
125
-
+
よって、94
=
5
1256
P
6/
400
サ
päsi. Ps= 6 x 1
61
=
2000
as
Pias=5)=Prax=5)+P(a4<5.05=5)
asくらかつbeくらかつbs=5
・(1器)+
5×64+6[
61
625
625
381
625
よって、P(as<5)=1-
381
244
625
625
bac5かつbs=5となるのは、ba=4で偶数
PCbe<5.ban5) 11/1/2・吉
244 ち
625
x
32
=
x
61
1000
=
サ
32

ページ4:

30を原点とするzyz 空間に, 3点A(3,0,5), B(2,√2,4), C (3,2√21) を通る平
面αとに点Dで接し中心が点 P(3,0, 3) である球面Sがある。 次の問いに答
よ
(1) 内積AB・AC を求めよ。
(2) D の座標およびSの半径rをそれぞれ求めよ。
(3)直線QRの方程式は実数を用いて。
(日(日)~(5)
=
(1)
(3) 点 Q(0,0,5) と, 平面z=0上の点R(X,Y,0) を考える。 直線 QR がSと共
有点をもつような(X, Y) の範囲を求め, XY 平面上に図示せよ。
この直線QRと球面の交点は、
に代入すればないので、
AC = 2√2 0
(x-3)+y+(Z-3)=1
'7-(4)-;)·(4) 7·4)-(9)-(+) || (x-3)--(---)
→
AB-AC-4+4-8
(tx-3)+ピド+(-5t+2=1
ピャー6tx+9++25t-2
-20℃+4=1
(2)
平面のの線ベクトルのひとつは、
() () ()=2月(1)
よって、平面〆の方程式は、
() ()
2-3+y+z-n "o
X+14+2=8
この平面αとP(3,0,3)の距離がいとなるので、
13+3-8|
2
=
= 1
1+2+1
2
━
点P(3.0,3)を通り、方向ベクトルが(!)となる直樹
212.
( 3 ) = ( 3 ) + *
=
(
jsk
kt3
この直線lと平面のの交況は
(x''+25)t+(-6X-20)t+12-0
この、についての2次方程式が解をもつので、
判別式をDとすると、
D/4 = (3x+10)2-12(x+ゲ+25) 20
゜+60x+100-12-12-12×2530
9x+6
-3×2+60X-12-2
-200 o
-3 (x²-20x + 100)+300-12)² - 200 20
3(x-1)+12≦100
3(x-10)+
100
25
よって、中心(10.0)、長径10青の
楕円の内部になる。
10f
(10.0)
よって、
k+3+Fxpk+k+3=8
4k=
=2
(E) ()
b (..)
凌界を含む

ページ5:

4 複素数が0でないとき、その極形式を
zr(cos +isin) (L,r>0, 0≤0<2)
(*)
で表し、f(z) を
f(z)=√√T
= √F (cos + i sin 24 )
517-6√21)
r = 11
7-11 (cos +50)
6√2
1:70" L. cos 0= 1, sinf = -11 31370).
と定める。 次の問いに答えよ。
(1) (*) で表される複素数に対して
f(z)
2
<< 1 <<
この部をと0 を用いて表せ。
f. 2. Los <0, sin >0
(2)f(7+6v2i) f (76√2i) をそれぞれ求めよ。
複素数 w が、 次の (a) かつ (b) をみたしながら動く。
Los =
1+6030
=
√
Sin
=
1-1050
=
2
(a) 0 < w≤1
3
(b) μ の偏角 α は, ≤a≤
4
5
4
の範囲にある。
(3) w2 の動く範囲を求め、 複素数平面上に図示せよ。
(4) f (w²) の動く範囲を求め、 複素数平面上に図示せよ。
(1) 2 = r (cos +i sing)
f(z) = √ { cos (1-0) + i sin (1-0)]
In (a) sin (-)--
(2) f(746)
2=17+6√29
パニ 17+36×2)=121
.. rall
(r>0)
Z-11 (50+ sino)
1
1058= sing=
を満たす
3
7
Los 0 = LOSA + 1
Sin
=
2
1-430 √
2
=
EN
R= (fin). In (17) = -1
=
cos
13
Re()+()
-
"
Re (12) = ±·´ ¯ª²) = -~ ¾³, Im (10) -
f17-6525)
7-6521
-
()
-
I
1
f(7-6√2) = − 1 ( 3+√3) (7-6√ži)
-
11(33-1)
= - 3 + √2911
(3) (a) 0<w≤
(b) の≦
W = r (wosd+isind) 293.
(a). (b) 2y.
<r≤1. reaser.
W² = p² (used + isined)
Ocr³≤1, Fr≤2ds ±
偏角は.0≦dceであるから、
W²= x+yi 932. cos 2α=0. 27. x202"*7.
よって。
0<x+y³ ≤1. x=0
よって、 fc744Fi=
3
-
74629 " "
f(7+650) = |— (3-524) (7+6√26) = 3 + √14
+
FIM

ページ6:

(4) f(ω^)
w² = r² (cos 2αx + sin 2α)
Ocr² ≤ 1. D≤2011
を満えす.
f(w)=r(wsatiisind)
0<² ₤1 +9. 0<rm1
77. 02α 2 <2R 2%.
DEERKR
であるから、f(wp)の偏角は、
o org (fin).org (fin)<x
ただし、 Im (four)) ≧0である。
よって、

ページ7:

5 実数全体で定義された関数f(x)=5log (x2+1)+3 に対して, by 平面上の曲線
y=f(x) をCとする。 Cの変曲点のうち, z座標が負であるものを A(a, f(a)) と
し, AにおけるCの接線をとする。
次の問いに答えよ。
(1) 関数 f(x) の増減, 極値, C の凹凸, 変曲点を調べ, Cの概形を描け。 ただし、
自然対数の底に対して, e3であることは証明せずに用いてよい。
(2) A (-1,5 lag 2-3)
f'(-1) = -10 + 3 = -2
J-fi-1)=-2(x+1)
J= -2x-2+5log 2-3
(2)lの方程式を求めよ。
(3) C, l およびy 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) f(x) = 10x
+3
f(x) = 10 (x²+1)-10-27
(2+1)
f(x)=0
=0×723912.
-1022+10=0
x²-1=0
x=11
x ...-3... -1
f(x) to-
f(x)
-
-
fix)=0 ε2'3912.
(0x+3x²+3=0
3x²+10x+3=0
(x+3)(3x+1)=0
x=-3.-1
-0+ +0-
f(x) || (f(-») 7 ft-1) L>ft-;)Jf«) l
-2x+500g 2-5
(3)
S_, { 5 log(x²+1)+ 3x+2x-5 by
2 + 5 } dx
o+ +
+ } { log(x²+(1) dx + {
$x = 5
by 2 +
5)
> ...
①
°
S" " dog (x²+1) dx = [ x
log(x²+
1)]. ₁ = { ;
-
fc->) = 5 log 10 – 9, f(+1)= 5 log 2-3
f(-±)= 5 lag 19 −1, f(1) = 5 lag 2+3
f(-3)>0, f(-)<o, fed >ofil>o
Tim fix)= ∞olim fix) =
90700
α-=
29.
x = Tand'ε.
2x²
x²+1
dx =
°
よって、
②12.
=
2x²
- log 2 - So 2x dx
2tand
tan 0+1
do
=
x²+1
・
2 Tan'0 x cos³0 = 2 sin³Ð
x: 1700-170
So 2 dx - 2 Sz
x²+1
=
tan do
= 25° (0-1) do
2 [ton - 0]
=2
=2(1-4)
Log2-2(1-7)
ゆえに、①な
5
2x
* dx
...②
52-10 (1) 5 lg 2 = Ex-15
#