【数Ⅲ】数列の極限⑧ ♾️ 無限級数の和

数列の極限無限数列無限級数

364

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

高校3年生

▷ 基本問題自学

2026.04.01 公開

高3 数学3 数列の極限無限級数赤城数3 数３数Ⅲ 数学３数学Ⅲ

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ノートテキスト

ページ1:

無限級数の和
頭が頭痛みたく変な日本語だけど
8
無限級数
an=a1+a2+α3+
...
tan
+…
n=1
n
の部分和を
Sn=Zak=a,+a2+a, + … + a,
k=1
とする。
数列{S}が収束し、かつ、その極限値がSであるとき,すなわち
n
n
lim S. | = lim Zak = S
n→8
n→8
Σak
k=1
8
n
であるとき、無限級数Σ a は 『Sに収束する』といい、S を和という。
n=1
8
※数列{S,}が発散するとき、無限級数は発散する
n=1

ページ2:

基本問題自学 ©Akagi
1 次の無限級数の収束, 発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。
1
1
1
1
(1)
+
+
+
+
+
2.5 5.
8.11
(3n-1)(3n+2)
1
1
1
1
(2)
+
+
+
+
1
(3)
1.4 2.5
1+√55+√9
√2-1√3-√2
3.6
n(n+3)
1
1
+
+
√4n-3+√4n+ 1
(4)
/1・2
√2.3
√n +1 −√√n
√n(n+1)
+
2 次の無限級数の収束, 発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。
2
2
2
(1) 2 +
+
+
1+2
1 +2 +3
1 + 2 + 3 + ･･･
+n
3
5
7
2n+1
(2)
+
+
+
・+
+…
12.2222.32
22.32 32.42
n² (n+1)²

ページ3:

自学 © Akagi
※第n項までの部分和 S を求め、 n を無限大にとばす
n
(1)一般項を部分分数分解すると
1
(3n-1)(3n+2)
部分和は
1
1
1
3n+2
33n-1
1
Sm
=
n
++
1
1
+
3
5
3n-1
3n+ 2
1/1
1
32
3n+2
よって
1
1
lim S,
--
|=
n
n→8
6
32
であるから、この無限級数は収束し、和はーである。 圏
6

ページ4:

自学©Akagi
(2) 一般項を部分分数分解すると
部分和は
Sn
=
+
1
n(n+3)
-
1/1
1
3 n n+3
1/{(-1)+(2)+(31)+(4号)...
\
+
6
1
+・
1
G D G D G +2)+(x++)
+
n n+3
+
n
1
1
1
1
1
31 2
+
3 n+
+
+
n+2
n+3
よって lim S
--
-
n
n→8
(1+1/+1/+0+0+0)
31 2 3
11
=
18
11
であるから、この無限級数は収束し、 和は
-である。 图
18

ページ5:

HOAkagi
(3) an
=
1
4n−3+√√4n+1
4n-3-√√4n+1
(4n-3)-(4n+1)
1
=
-(√4n+1 −√4n−3
4
分母の有理化
n
S₁ = Σak
n
k=1
1 -
= (√5 - √1) + (√9 - √5) + ··· + (√4n+1 −√4n−3))
4
= 1 (1+√4n+1)
=
lim S
(4) an
=
n
...
=∞ だから、この無限級数は発散する。
√n+1-√n
1
=
√n. √n+1 √ √n+1
kk
部分分数分解
√n⋅
n
=
=
+
n
k=1
√
宮(六吉)(11)(11)
+
13
n+1
1
=1.
n+1
lim S, =1-0=1だから、この無限級数は収束し、和は 1。
n→∞
笑

ページ6:

BoAkagi
2
(1) 2 +
2
1 +2
an
=
+
2
1+2+3
2
1+2+3+
2
+
+
+・
1 + 2 + 3 +
+n
1
4
=
2 ÷
-n(n+1)
=
n(n+1)
= 4
S = 4
n
...
+n
1
1
部分分数分解
n
n+1
1
1
1
1
G F C F C + D)
+
土 +
2
2
3
1
n
介
.
n+1
lim S„ = 4(1–0) = 4
n∞
n
この無限級数は
収束し、 和は4である。 圏

ページ7:

2
自学 © Akagi
12
(2)
3
12.22
an
..S.
n
=
=
+
5
+
7
+
+
22.32 32.42
2n+1
n²(n+1)2
1
=
n
2n+1
n2(n+1)2
+
1
1
部分分数分解
2
(n+1)2
+
1
1
1
1
+
+
+
22
1
22
32
n
2
(n+1)2
(n+1)2
lim S, =1-0=1
n→8
n
この無限級数は
収束し、和は1ある。圏