ページ3:

基本問題 (4プロセス) 自学 ©Akagi
5 次の極限を求めよ。
。
tan x
(1) lim
x→0 x
(2) lim
x0
sin (sin x)
sin x
tan x - sin x
(3)
lim
(4) lim
sin 3x + sin x
x→0 x cosx
0<x
sin 2x
6 次の極限を求めよ。
(1) lim xsin
xx
1
7 次の極限を求めよ。
(2)
lim 2xsin
x
xx
1
x
(1) lim
sin (x-π)
(2) lim
sin( x)
xπ
x1 x-1

ページ4:

1 グラフをイメージ
(1) lim
(2)
(3)
π
lim
x->
lim
π
8
1
sin
x
COS
1
tan x
高3数学Ⅲ 関数の極限6
2
2
x
1
sin
兀
2
= cos 0
=
lim
π
= 1
1
x-> +0 tan x
=
lim
πT
1
=
0
x-> -0 tan x
= 20
2
2
公式の形を
2 極限公式
無理やりつくる
数合わせ
(1) lim
sin 4x
= lim
sin 4x
x 0
x
x→0
(2)
lim
x
x→ 0 sin 2x
=
lim
2x
x→ 0 sin 2x
(4) = 1.4 = 4
•
1
2
=
4x
1
1
1
=
2
(3) lim
sin 2x
= lim
sin 2x
4x
1
=
1.1
x→0 sin 4x
x 0
2x
sin 4x
2
(4) lim
sin 3x
sin 3x
=
lim
x
2
.
3 = 1.1.3
1
2
=
=
3
x0 tan x
x→0
3x
tan x
1-2|

ページ5:

3 はさみうつ
(1) lim x² cos-
x 0
1
-1 ≤ cos - ≤1
-1≤
x
1
2
- x² ≤ x² cos-
- ≤ x²
(x² ≥0)
X
X
lim (-x²) = 0,
lim (x2)=0
x 0
1
..
lim x² cos
== 0
x→0
sin x
(2)
lim
xxx
-1 sin x 1
*.
X
1
sin x
1
介
x
x
x
X
.
lim
XX
lim
1
X
=
sin x
I
lim
xx
= 0
x-4x
x
-I-
= 0

ページ6:

x0
tan 2x - sin x
tan 2x
x
44 三角関数の各公式を利用して式変形
x01-COS X 相互関係
(1) lim
sin² x
1- cos x
=
lim
2
(2)
lim
=
lim
sin x
2.
x→0
2x
X
=1·2–1
極限公式
=
= 1
0+x
= lim
x 0
1- cos x
(1 - cos x) (1+ cos x)
1- cos x
= lim (1+ cos x)
x 0
=1+1
=
2
(3) lim
=
=
x→0
lim
0<x
1- cos 2x
(4)
lim
x²
2
倍角公式
2
2 sin² x
-lim 2
x 0
2
x²
sin x
x
2
= lim
=2.12
=
2
=
1- cos x
x→0xsin 2x
lim
0<x
よくあるやつ
(1- cos x) (1+ cos x)
x sin 2x(1+ cos x)
1-cos² x
x→0 xsin 2x(1+ cos x)
=
lim
2
sin² x
x→0 xsin 2x(1+ cos x)
= lim
x→0
=12.1
.
2
sin x
2x 1
1
sin 2x 2 1+ cos x
x
1
2
.
1
1+1
=
1|4

ページ7:

5 なんかいろいろ
(1) lim
x→0
tan x
x
(2)
lim
x0
sin (sin x)
sin x
x
tan
πT
=
= lim
180
π
sin t
= lim
x→0
x
180
0 ←1
t
π
180
π
180
(3) lim
tan x - sin x
lim
x→0
* COSX
x 0
=
= lim
(4) lim
sin 3x + sin x
x → 0
sin 2x
sinx = t
0<x
sin x
COS X
- sin x
3
1
x³ cos x
1
x³ cos x
sin x - sin x cOS X
COS X
sin x 1-cos x
= lim
x 0
x
x² cos² x
2
= lim
sin x (1-cos x)(1 + cos x)
x 0
x
sin x
x→0
x
= lim
sin x
2
x² cos² x(1+ cos x)
1-cos² x
x² cos² x(1+ cos x)
sin 2
x
x² cos² x(1+ cos x)
=
= lim
x 0
X
2
sin x
sin x
x→0
X
X
1
= lim
1
cos² x(1+ cos x)
=1.1² .
1². (1+1)
無理やり
数合わせ
sin 3x
= lim
sin x
2x
.3.
x→0
3x
x
2
sin 2x 3
2
=1.3.1.1
3
= 2

ページ8:

6 置きかえて極限公式を利用
(1)
lim xsin
8118
1
x
1
1
sint
=
lim sint = lim
=
0-←1
t
1→-0 t
lim 2xsin = lim 2.
(2)
xx
x
0+←1
sin t
=
2
t
1
t ==
x
0-1/00-←x
1
t ==
x
7 置きかえて極限公式を利用
(1) lim
sin (x-7)
sint
= lim
xπ
X-T
t→0
(2) lim
sin(x)
= lim
x1
x-1
0←1
= lim
0+1
= lim
t
=
sin(t+1)
t
sin(л+tл)
t
sin{−(−t)}
0+1/00x
0 ← 1 / 2 < x
t=x-π
t=x-1
x1/t0
0←1
t
補角の公式
= lim
sin(-tл)
0←1
t
= lim
0←1
- sin лt
t
==π