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円と直線の位置関係 円の半径をr、円の中心と直線の距離をdとするとき 異なる2点で交わる ⇔ d<r ② 接する ⇔ d = =r ③ 共有点をもたない ⇔ d>r □ 円上の点P(x, y,)における接線の方程式 2 r² ○円 x2 + y2 =r 2 ⇒ 接線xx +yy=r" ○円(x-a)+(y-b)²=r2 - 接線(x, - a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r2
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数Ⅱ 図形と方程式 中間考査過去問抜粋 12 直線y=3x+kが円 x2 + y2 = 9と共有点をもつような、定数kの 値の範囲を求めよ。 13 次の点P における円の接線の方程式をそれぞれ求めよ。 (1)円 x 2 + y2 = 10上の点P(1, -3) (2)円(x+1)^+(y-2)2=5上の点P(-2, 4) 14点A(2,1)から円 x 2 + y2 =1に引いた接線の方程式を求めよ。 y² また、接点の座標を求めよ。
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解答例&プチ解説 12円 x2 + y2 =9の中心(0, 0)と直線3x-y+k=0の距離をd とすると、d ≦ 3(=半径)となればよい。 |3.0-0+k| d = | k | ≤3 √32+(-1)2 13 (1) 1.x-3.y=10 ..x-3y-10= 0 劄 √10 ∴|k|≦3/10 .. 3/10 ≦k≦ 3√10 kk (2)(-2 +1)(x+1)+(4-2)(y-2)=5 ..x-2y +10 = 0 劄 線公式
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14 円 x2 + y2 = 1 上の接点を P(x, y)とする。 Pは円上の点だから x^2+y^2 =1 ① Pを通る接線の方程式は xx + y_y = 1 ※ これは点(2,1)を通るから 2x₁ + y₁ = 1 ② ①,②を連立方程式として解くと 円外の点を 2 x^+(-2x, +1)^=1 ...5x2-4.x = 0 .. x(5x −4)=0 通る接線 4 ..x = 0, 5 これらを②へ代入して 3 y1 = 1, 5 これらを※に代入すると 4 , 5 y=1,P(0, 1) または 4x-3y=5,P(- 43 5 - 5 y = 1 3 5 min
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