Question

May3

コーシーシュワルツの不等式の一般化したもの？の証明がわかりません

2,…,
[2] (1) 右辺を展開すると, a,b,' (i = 1, 2,...,n;j= 1, 2,......,n)の和にな
るから,
してもよい。
(a'+and+....+α)(b^2+b2++6円)
n
2
n
i++
=Σa²b²+Σa²b² +Σab² = Σab²+(ab²+a‚²³b;²)
i=1
i<j
i>j
i=1
i<j
ただし, Σa' by は 1≤i<j≤nなる整数 i, j に対する a'b の総和を表すもの
2 2
i<j
04
とする. Σaby も同様.
+do
i>j
n
Apdo
(2)(a,b)
i=1
(a,b,+azbz+…+a)(b)+2 Σ (a,b) (ajb;)
i<j
.. 右辺一左辺 = Σ (a²b²+a²b² −2a,b,a,b) = Σ (a,b,a,b,)² ≥ 0
(ab+ab-2a,b;a;b;) ≥0
∴. 左辺 ≦ 右辺
i<j
i<j
(注1) この不等式はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれる
(注2) 等号成立の条件は aibj = a,b, (1≦i<j≦n) であるが,これは,
b
a1
a2
=
=
b₁ b2
an
bn
と書ける(ただし, 分母子の一方が0のときは他方も0とする.)
2
(2)
A =
R=
[SPORT]

[2] 次の(1),(2)を証明せよ.8=m)
実数a,a2,
(ab+a2b2++
が成り立つ.
,
anib1, 62,
......, 6m (nは自然数) に対して,常に
n
+abn) ≤ (a2+a2++am²)(b2+b22+
+62)

Answer 1

和

n=3の例をやってみると、
一般のnの場合もわかるかと思います

Answer 2

ととろ

式を追っていけばわかるはずですが、どこでわからなくなりますか？