【数学Ⅰ】第2章命題と論証🔚

命題

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2026.05.27 公開

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ノートテキスト

ページ1:

高1数学Ⅰ 命題と条件
A 命題
命題
正しいか正しくないかがただ1つ定まる文や式。
例 命題 「7は偶数である。」 正しくない
命題「32 +42 =52」
→ 正しい
真と偽
命題が正しいときを真, 正しくないときを偽
という。
例 命題 「7は偶数である。」 偽
命題 「 32 +42=52」
条件
真
変数を含む文や式で, その数値に値を代入
したときに真偽が決まる文や式。
(真のときも偽のときもある文や式)
例 条件 「3x +12 > 0」
xが-4より大きいときは真
xが-4以下のときは偽

ページ2:

B 命題 「pg]
○ 「pならばqである」という命題。
pを仮定, gを結論という。
○一般に, 条件 p, q を満たすものの集合をP,Qで
表すとき
PがQの
命題「p⇒q」が真 = PcQ
部分集合
※ 命題の真偽を考えるとき, 集合を利用するとわかり
やすいことが多い。
例 p:-8 < x <-5, gx <1のとき
命題「pq」 は 真
P
-8
-5
1
PCQ
例 p:-2 <x, q:x5のとき
命題「pq」は偽(反例はx=6)
P
-2
5
PCQ ぢゃない
※ 偽であることを示すには反例を1つ
あげればよい。

ページ3:

C 必要条件と十分条件
○ 2つの条件p, q について
PCQ
p qp はqであるための十分条件
「pg」 pはgであるための必要条件
「p⇔g」 pはgであるための必要十分条件
p と q は同値という
例 ▷p:x >1はg:x>0であるための十分条件。
P
PCQ
▷
0 1
※ p q は真pg は偽(反例:= 0.5 )
p:x=36はg:x=6であるための必要条件。
※ p q は偽(反例:x=-6) pg は真
p: 整数a, b は同符号 : 整数a, b の積は正
pは qであるための必要十分条件。
※ p q は真 pg (p,q は同値)

ページ4:

D 条件の否定
条件p の否定「p でない」という条件を, pの否定と
いい,pで表す。 (集合Pの補集合ア)
例 ▷
[451] x ≤-2
の否定は x>-2
▷x<3かつx < 5の否定は
x≧3またはx≧5
▷ すべての素数は奇数である
の否定は
ある素数は偶数である

ページ5:

高1数学Ⅰ 論証
A 命題の逆・裏・対偶
○ 命題「pq」に対し
「pg」を逆, 「pg」を裏 「p⇔g」を対偶
p<q]
という。
逆
p q
p←q
裏
対偶
裏
p q
逆
pg
※ 命題が真であっても,その命題の逆は真とは限らない。
命題｢pq」と,その対偶 「pg 」とは,
p←q」とは,
真偽が一致する。
ある命題を証明しづらいときは,その命題の対偶
を証明することがある。