ノートテキスト
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Y1 a, b を実数の定数とする。 P(x) = x3 + x 2 + ax + b は P(2) =0を満たしている。 (1)b をαを用いて表せ。 また, P(x) を因数分解せよ。 (2)3次方程式 P(x) = 0 の異なる実数解がちょうど2個である とき, αの値を求めよ。 また, そのときの3次方程式P(x) = 0 (配点25) の解をすべて求めよ。
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令和7年度 総合学力記述模試・7月 高3@自学 ~ 高次方程式~ P(x) = x3 + x2 + ax + b (1) bをαを用いて表す。 P(2) = 0 より 23 +22 + α・2+b= 0 ∴. b=-2a-12 P(x) を因数分解する。 P(x) = x3 + x2 + ax - 2a -12 =(x-2)(x2+3x + α + 6 ) a6 x=2を 解にもつ -2a-12 |2 1 1 2 6 2a+12 1 3 a+6 O
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(2) ► P(x) = (x − 2)(x² +3x+a+6) = 0 の実数解がちょうど2個であるときのαの値を求め,そのとき の解を求める。 Q(x) = x2 +3x+α+6=0 とする。 アQ(x)=0がx=2とそれ以外の解をもつ場合 Q(2) = 0 より 22 +32 + α + 6 = 0 ∴.a=-16 このとき x2+3x -10 = 0 ∴ (x-2)(x + 5) = 0 ∴x=2, -5 よって, a=-16のとき x = 2, -5 Q(x) =0 の判別式を Q(x)=0がx=2以外の重解をもつ場合 D=0 かつ Q(2) ≠0 であればよいので D=9-4(a +6)=-4a-15 = 0 x2 9 3 x² + 3x + 2 = 0 (x + 2)² = 0 - 4 これはQ(2) ≠ 0を満たす。 Dとする 15 ∴a 4 ∴.x 3-2 15 よって, a のとき x = 2, 4 3-2
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