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高2 数学Ⅱ(図形と方程式) 7月進研模試 過去問抜粋 B 5 座標平面上に, 円 C : x2 + y2-2x-4y-5=0 直線l :y=-2x+9 がある。 (1)円Cの中心の座標と半径を求めよ。 (2)円Cと直線lの2つの交点 A, B の座標を求めよ。 ただし, 点Aのx座標は点Bのx座標より小さいものとする。 また, 点 D を中心とする円 Kは2点 A, B を通り, 点 Dと直線 lとの距離が円Cの半径の2倍である。 円 K の半径を求めよ。 (3)(2) のとき,点Dの座標を求めよ。 ただし, 点Dは第1象限 にあるものとする。 (配点 20)
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解答例 C:x2+y2-2x-4y-5=0 l:y=-2x+9 数合わせ (1) Cを平方完成すると (x²-2x+1)+(y2-4y +4) = 5+1+4 (2) lをCに代入して (x-1)2 +(y-2)²=10 答 中心 (1,2) 半径√10 (x-1)^+(-2x+9-2)²=10 yを消去 x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)= 0 x=2, 4 これらをlに代入 y=5, 1 答 A(2,5) B(4, 1) XA <XB ア A(2, 5), B (4, 1) を通る。 円K イ 中心Dと直線lとの距離=円Cの半径の2倍 ア ABの中点をMとすると AB=√(4-2)^+(1-5)²=2√5 より AM = √√5 DM = √10×2=2√10 A D 三平方の定理 ア, より DA=√AM2+DM2=3√5 Dの半径 答 3√5 B
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(3)A(2,5),B(4, 1)より M(3, 3)
1
直線 DM の式は y-3 = (x-3) 定点公式
lと垂直
3
.. y
=
x+
A
2
2
1
よって,
D (t,
t+
2
とおける。
DM =2√10 だから
2
-)
三平方の定理
t+
M
(1-3)2 + {1/24+2)-3} = (210)
2
=
展開して整理すると
f2-6t-23= 0
解の公式により
t=3±4√2
問題文よりt> 0だから t=x=3+4√2
このとき
y=1/2(3+4√/2)+2/2=3+2√2
(3+4√2,3+2√2 )
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