わかりやすい解説ありがとうございました

この解答で、減点されることはほとんどないと思うよ。
模範解答は、Sを最初から因数分解して
S=2×(正の整数)
とするやり方で、
りーてんさんのやり方は、Sを展開してから
S=2×(正の整数)
としていくやり方だから、
最終的にはどちらもSが偶数といえているので正答になります。

あえて細かくみるなら、
最初の文
｢正の整数nを正の整数kで表すと4k,4k+3と表せる｣
は、
｢正の整数nを正の整数kで表すと4kまたは4k+3と表せる｣
や、
｢nを正の整数kを用いて4kまたは4k+3と表せる｣
などとするといいと思う。
(4k,4k+3という書き方よりも、
4kまたは4k+3としたほうが見やすいかな)

おまけ
模範解答で因数分解を利用していた理由は、展開が大変な問題のときに苦労しないようにするためです。

長文失礼しました。