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Leibniz rule[ライプニッツ公式]
(f(x)g(x))^(n)=Σ[k=0->n] C(n, k)f(x)^(n-k)g(x)^(k)
を利用します.
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f(x)=e^(-3x)とすると, f'(x)=-3e^(-3x), f''(x)=(-3)^2*e^(-3x), 一般にf^(n)(x)=(-3)^n*e^(-3x)
g(x)=x^2とすると, g'(x)=2x, g''(x)=2, n≧3でf^(n)(x)=0である.
したがってn≧3のときはライプニッツ公式から
(x^2e^(-3x))^(n)
=C(n, 0)f^(n)(x)g(x)+C(n, 1)f^(n-1)(x)g'(x)+C(n, 2)f^(n-2)(x)g''(x)
=(-3)^n*e^(-3x)*x^2+n*(-3)^(n-1)*e^(-3x)*(2x)+{n(n-1)/2}*(-3)^(n-2)*e^(-3x)*2
=(-3)^(n-2)(9x^2-6nx+n(n-1))e^(-3x)
と表せる.
一方, 積の微分法からn=1, 2のときは
(x^2e^(-3x))'=2xe^(-3x)-3x^2e^(-3x)=(-3x^2+2x)e^(-3x)
(x^2e^(-3x))''=(-6x+2)e^(-3x)+(9x^2-6x)e^(-3x)=(9x^-12x+2)e^(-3x)
でいずれも上の場合に含めることが出来る.
以上からすべての自然数nに対してn次導関数は
(x^2e^(-3x))^(n)=(-3)^(n-2)(9x^2-6nx+n(n-1))e^(-3x)
である.
