Question

sho

以下の問題(3)の解答青線部分｢b-2k>0であるからk=1｣について質問です。

b>1なので、bが大きければk=1でなくてもb-2k>0は満たすように思えるのですが、なぜここでk=1とできるのかが分からないため、教えてください。

よろしくお願いします。

整数 g, 5 は等式
まこーーニ1
を満たしているとする。
(1) g,あはともに正となることを示せ。
(2) 5 > 1 ならば, c は偶数であることを示せ。

(3) ①を満たす整数の組 (g。,) をすべてあげよ。

圏 しLA (不定方程式/
価答] 39ー22モ1 tt①
(1) ①ょり, 3" =25 上1 > 1 であるから
g>0
このとき, 2?王32ー1ニ3一1 > 1 であるから
6>0

(2) cが奇数であるとすると, 負でない整数 y。 を用い
て, c= 2m十1 と表せる. 以下, 合同式の法を4 とし
て固定すると, 3? 三 1であるから

3 三 (3?)ぐ・3王3
ー方, ぁ > 1 より, 2? 三0であるから

3<-25三3

したがって, ① の両辺を 4 で割った余りが一致せず巴
盾が生じる. よって, ce は偶数である.
(3) (i) 5ち= 1のとき, g=1である.
(ii) ぁ > 1 のとき, (2) より, 自然数ヵ を用いてo = 2w
と表せる. このとき, ①より

32%_ 1ニー25

(37-1)(3"二1) =25
よって, 自然数をを用いて

37"ーニューニー2たtt②

3 コテ2ニル …③
とおける. ただし,

1くを<5一を mt④
②+③ょり

2・3? ニー2! 上 25た
=2*(1 2人k)
④ より. 6ー 2た> 0であるから
た三1 .…ゎ=1 (②⑦よょより)
したがって.,
g三2  … 6=ニ3 (①より)
(0 より
(c, 5 = (1, 1), (2, 3)
《注) (2) では, 3? 三 1 を用いたが, 3 三 一1より
3 三 (1)2のトニ ー1王3
としてもよい. また
3? = (2十1)“7. あるいは, 3" =ニ(4 一1)"

op Ao

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲスト

b-2kは自然数より、()内が偶数になることがなく、これは自然数である。素因数2を1つだけ持っていなくてはならないため、必然的にk=1となる。
ごめんなさい、醜い文章で。分かりづらかったら、紙にでも書くので教えてください。

sho

返信や解決済みにするのが遅くなってしまい、申し訳ありません。

b-2k>0より1+2^(b-2k)は奇数となり、また左辺と比べて素因数2を1つだけ持つことが分かるので、k=1とできるのですね…。

理解することが出来ました。
分かりやすく、早急な回答をありがとうございましたm(*_ _)m