空間座標をあまり扱ったことがないので少し不安ですが、1つ思うのは、あまり空間をイメージする必要はないんじゃないかということです。
証明できませんけど、少なくともxyz軸までなら、軸は全て直行してますから、「〇軸に対称の時は〇座標は動かない」となんとなく言える気がします。
敢えてイメージするなら、
例えばz軸に対称な点なら、目線がz軸に重なるように固定すると、xy平面が遠くに見えます。自分の目線(z軸)はxy平面の原点を通ります。z軸に対称な点は、元の点とz座標が変わらないので、xy平面におけるz軸の通る位置(つまり原点)について対称な点を思い浮かべれば良いと思います。
平面について対称な場合も、同様に考えられると思います。例えば座標空間をxy平面でちょんぎった時、xy平面について対称な点は元の点とz座標のみ異なることになる気がします。したら、平面を横から見てあげて、平面を厚みを1つの軸(仮にm軸としましょう)と考えたら、またもやmz平面という座標平面のみ考えれば良いことになります。
恐らくですが、質問者様がやろうとしている空間座標のイメージは、xy平面の直線nについて対称な2つの点を考える時に、直線nを基準として考えるようなもので、複雑なために次元を下げずにそのままイメージすることしか出来ないので、かなり高度なイメージ力が求められてくると思います。x,y,z軸は直行していることを利用して、次元を下げる考え方が出来れば、イメージするのも容易になると思います。
あ、僕の仮説が正しければ、(6)は間違ってます。z座標は変わらないはずなので…。
冗長になってしまいましたが、空間座標についてあまり考えたことが無かったので回答を書いててとても楽しかったです(笑)
刺激のある問題をありがとうございます。