Question

はるき

問3で階差数列から一般項を求めて解を出すときに、数学的帰納法による証明は必要ですか？

2
数列 a1, a2, , an, .
の初項から第n項までの和 Sn が次の式を
以下の問いに答えなさい。
Sn = 2an - 4n-5 (nは自然数)
問 1] a1 を求めなさい。
[問 2 an を用いて an+1 を表しなさい。
問 3 an を用いずに, nを用いて Sn を表しなさい。

2
1 与式を, Sn=2an-4n-5 ….① とする。
解答
……① とする。
[問1] のでn=1 とすると
また,a=Siであるから
Si=2a」-4-5
a=2a」-4-5
. ai=9
(答)
[問2] のでnをn+1とすると
Sn+1=2an+1-4(n+1)-5 …②
2-0より
Sn+1-Sn=2an+1-2an-4
ここで,Sn+1- Sn=an+1 であるから, 上式は
an+1=2an+1-2anー4
an+1=2an+4
これより
(答)
ニ)
an+1-α=2(anle)
an+1=2an+4
α=2α+4
[問3] [問2]の結果より, 右のように辺々引くと,
Q=-4 より
an+1+4=2(an+4)
an+4=(ai+4)·2"-1=13·2"-1(:: a=9)
. an=13·2"1_4
のに代入して
S=2(13-2"-1-4)-4n-5
ゆえに
Sn=13-2"-4n-13
(答)

数列 階差数列 数学的帰納法 等比数列

Answer 1

eratos2357

いいえ、必要ありません。

eratos2357

ただ、あるとより説得力が増します。
解答に書く必要はありません。