Question

らんちゃん

(4)は何をしたくてこういう風に解いているのでしょうか？ 漸化式っていうやつですか？

長い方の辺
* ム
枚重ならないように並べて, 縦の長さが2, 横の長さがnである長方形の領域を埋
め尽くすことを考える。正の整数nに対して, タイルの並べ方を an 通りとすると、
a1 = 1, a2 = 2, a3 =3である。
縦2横nの長方形領域 タイルの並べ方
n=1
4,=1
n=2
=2
n=3
3-3
(1) a4 =
(ア)
(イ)|である。
45 ミ
lartan-z
(ウ) |である。
(2) n23のとき, anを an-1
と
を用いて表すとan
an-2
(3) (2) の式をan + aan-1 = B(an-1 + αan-2) (α< B) の形に変形する。 こ
のように変形できる。αは2つあり, それぞれ α1, α2 (α1 < α2) とすると
(21, 02) =| (エ)
である。
(4) n22のとき, Cn= amtαian-1, dn = an+ α2an-1 とする。 このときcn
よびをnの式で表すと Ch
(オ)
(カ)である。
(5) n23のとき, anをnの式で表すと an
(キ)である。
使聞して an-へケにする
an: 1β-4)an-1t 以FQa2
うにおいてすべての hn-i,
-は)an-1 t以βan-2
バ成り在つから
「e-ド-|
an-2で
Xの
hu-Lt an-zえ
こ
ド= 4E ar p-15
-1け5

(8-α)an-1+aBan-2=Qn-1+an-2
が成り立つから
て 業
(B-Q=1
la8=1
-1土,5
1土(5
-=D"
(複号同順)
2
=の
したがって,求める αi, C2 (Q」<az) は
1-5
-1+ 5
(ai, Cz) =
2
(4) (3)の結果より, α=a,のときB=B, とすると
an+1+aian=B(antaian-i)
mー ( 3 )
Cn+1=Bicn
よって
Cn=CaB,"-
C2=Q2taiai=2+
-1-5
3-5
×1=
B=1+a=
S-I
-8
2
n-2
I
同様にして, α=C2のとき B=Ba とすると
an+1+a2an= Ba(antazan-1)
dn+1=Badn
"p=D"p
-1+5
3+、5
×1=
よって
n-2
d2=a2+a2ai=2+
1+、5
B2=1+2=
2
3+5 /1+5
7-u
="p
2
(5)(4)の結果より, n23において
S-I-
an-1=
3-5
antaian-1=an+
n-2
S-
anta2an-1=an+
-1+ 5
3+5
2-4
an-1=
-1+ 5
-1- 5
×2
1+ 5
n-2
V5am=(2+\5)|
1-5
n-2
G+I
2
1-、5 )2+1
I+4