Question

じな

画像のところが分かりません、よろしければ教えていただけると嬉しいです。。

OOOO0
重要例題(35 不等式の証明の拡張
la|<1, |b|<1, Ic|<1 のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(2) abc+2>a+b+c
基本27,29
CHART
OLUTION
似た問題
2 方法をまねる
結果を使う
(1) 大小比較は差を作る方針。
(2)(1)の2文字 (a, b) から 3文字(a, b, c)に拡張された問題。
1の方針で,(1)の結果を2回使って証明する。
lal<1, |b|<1 から |ab|<1 であることに注目。
1
解答
や大小比較 差を作
ャ-1<a<1,-1<
lal<1, |6|<1 であるから
a-1<0, b-1<0
よって
(a-1)(b-1)>0 すなわち (ab+1)ー(a+b)>0
したがって
ab+1>a+b
(2) |a<1, |b|<1 であるから
lab|<1
結果を使う
labl<1, Ic|<1 であるから, (1)を利用して
(ab)c+1>ab+c
abc+2>ab+c+1
(1)の不等式でa
ロ
bをcにおき換
よって
f ab+1>a+bの
|(1) から
cを加える。
abc+2>a+6+c
ゆえに
別解)(abc+2)-(α+b+c)=(bc-1)a+2-b-c
<1, Ic|<1 であるから
や大小比較 差を
|bc|<1
よって
bc-1<0
ャ-1くbc<1
la<1 であるから
a<1
(bc-1)a>(bc-1)·1
(bc-1)a+2-6-c>bc-1+2-6-c
*a<1 の両辺に
bc-1 を掛ける
ゆえに
よって
=(b-1)(c-1)
|6|<1, |c|<1 であるから
(b-1)(c-1)>0
b-1<0, c-1<0
ゆえに
したがって
abc+2>a+b+c

Answer 1

うさりん

右側にあるように、a<1の両辺にbc-1をかけたんだと思います。
その際、bc-1は負の数なので、不等号が逆になったと思われます。

じな

なるほど！負の数をかけたことで不等式を＜から＞に変えたのですね！分かりやすくありがとうございます！

Answer 2

J

右の解説にもある通りbc-1は必ずマイナスになります
そこに|a|<1であるaをかけると必ず0に近づきますね
マイナスの世界では0に近づけば近づくほど数は大きくなります

じな

なるほど！そのための左辺＞右辺なのですね！ご丁寧にありがとうございます！