Question

まる

解説お願いします。
なぜ最小値がゼロより小さい時なのでしょうか。

例題103 2つの関数の大小関係
2つの関数 f(x)=x°+2x-2, g(x) 3D -x°+2x+a+1 について、次
条件を満たすような定数aの値の範囲を求めよ。
(1) -2Sx<2 を満たすすべてのxに対して
(2) -2Sx<2 を満たすある xに対して
(3) -2<x<2 を満たすすべての xi, X2に対して
(4) -2<x<2 を満たすある xi, X2 に対して
f(x)< g(x)
f(x)< g(x)
f (x))<gl)
f(x)< g(x)
既知の問題に帰着
(1) →すべての x (-2<x<2)でf(x)-g(x) <0 (例題 102 に暴差
II
F(x)
II
(2) → あるx(-2<x<2)でf(x) -g(x) <0
→ -2Sx<2でF(x) < 0 となるxが存在する。
内 mih
y=F(x)
y=F(x)
x
x
つねに負
負の部分が存在
し る
(3), (4)は, X と x2が同じ値とは限らないので,
(1), (2)のように, 移項しても1つの関数とみなせない。
→リ=f(x) と y=g(x) の2つのグラフの位置関係で考える。
条件の言い換え
(y=f(x) 上の -2<x<2)
より
であるすべての点のy座標 /
y=g(x) 上の -2<x£2
が大きい
(-2Sx<2における
であるすべての点のy座標
<(
(y=f(x) 上の -2<x<2'
-2Sx<2における
9(x)の最小値
f(x)の最大値
である点のy座標
るものが存在する。
y= g(x) 上の -2<x£2}
が大きくな
より
である点のy座標
y=g(x)
y=fu)
y=g(x)上のy座標
が最小と
思考のプロセス

(2)(1)の F(x)= 2x°-a-3 について,
-2SxS2 を満たすあるx に対して f(x) < g(x)
すなわち F(x)<0 となるための条件は
-2<x<2 における F(x) の最小
値mが m<0 となることである。
F(x) は x=0 のとき最小となるか
m= F(0) = -a-3<0
例題
102
y=F(x)
ら
0
-2
したがって
a>-3
2
x
そ わttベー
ー+1マて