Question

hana🐶

（7）がどうしてこのような答えになるのかが分かりません…教えてください!!

次のように定められた数列(a}の一般項について, 以下の手順でT君とMさんが考
えた。下の問に答えよ。
a,=1,an+1
an
3a,+1
《T君の手順》
まず,この漸化式から,
ag=
となるから,
これらの結果より, 一般項は
a,=
(3) と予想できるね。
この式を数学的帰納法で証明すると, 一般項が証明できるね。
〈証明)
(i) n=1のとき, a_=1となり成り立つ
(i) n=kのとき, 成り立つと仮定すると
n=k+1のとき。
ak+1=
(4) という定数 kを用いた式になるので,
n=k+1でも成り立つ
(i)(i)より, 求める一般項はa,=
《Mさんの手順》
この漸化式の両辺の逆数をとると,
1
(5) |となるわね。
ニ
an+1
1
としたら
4n
ここで, b=
b+1
(6) |となり,数列{b}の一般項は, nを用いて
b。=
となるね。
したがって, a,=| (3) となるね。
(1)~(7)に入る式·値を求め解答を完成させよ。答えは解答欄に記入せよ。
解答欄
の点×7問-7点
1
1_7
4
1
1
3n-2
3k+1
+3
1
b+3
3n-2
6

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こめまる

汚い字ですみません😓

hana🐶

丁寧な回答ありがとうございます!!理解できました。

Answer 2

mo1

以下のような流れです。

【Ｍさんの手順】

　【漸化式】

　　　a_(n＋1)＝{a_(n)}/{3a_(n)＋1}

　【漸化式の逆数】

　　　1/{a_(n＋1)}＝{3a(n)＋1}/{a_(n)}

　【右辺を２つの分数にして】

　　　1/{a_(n＋1)}＝[{3a(n)}/{a_(n)}]＋[{1}/{a_(n)}]

　【右辺の[{3a(n)}/{a_(n)}]を約分し　3　】

　　　1/{a_(n＋1)}＝[3]＋[{1}/{a_(n)}]

　【右辺の順を入替】

　　　1/{a_(n＋1)}＝[{1}/{a_(n)}]＋[3]　･･･　(5)

　【b_(n)＝1/{a_(n)}とすると、b_(n＋1)＝1/{a_(n＋1)}なので】

　　　b_(n＋1)＝b_(n＋1)＋3　･･･　(6)

●【(6)は、初項b_(1)＝1/{a_(1)}＝1/1＝1、公差3の等差数列を表す】

　　　b_(n)＝1＋3(n－1)＝3n－2　･･･　(7)

　【b_(n)＝1/{a_(n)}より】

　　　a_(n)＝1/{b_(n)}＝1/(3n－1)

hana🐶

納得出来ました。ありがとうございます!!