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方程式 4x+3y=55 を満たす自然数 x, yについて。
(1) x, yがともに1桁の自然数であるものを求めよ。
(2) x, yがともに 20以下の自然数である組は何組あるか求めよ。
方程式の整数解(1)
例題
253
また,その中でxとyの積が最小となる x, yを求めよ、
(同志社女子大)
1SyS9 → 3S3yS27 → 3<55-4xs27
考え方 (1) 1桁の自然数なので,
よって、7SxS13 から方程式に当てはまる1桁の自然数x,yを見つける。
4x+3y=55 → 4(x-7)+3(yト9)3D0
一 03=8+m
い 15yミ9
(2) (1)の答えをヒントに,
(n-0S)
3S3y<27
解答(1) yは1桁の自然数なので、
4x+3y=55 より、355-4x なのでハos J
7SxS13
-52ミ-4xS-28
(3555-4x全27
xは1桁の自然数なので, x=7, 8, 9
x=7 のとき, 28+3y=55 より,
x=8, 9 のとき, 整数のyはない。
よって, x=7, y=9
(2)(1)の値を利用すると, 4x+3y=4×7+3×9より,
4(x-7)+3(y-9)=0
と3は互いに素なので、
550
132x27
1
ソ=9
x=8 のとき,
32+3y=55
x=9 のとき,
36+3y-55
右辺は3の倍数だから、
左辺も3の倍数。 と
3は互いに素だから,
4(x-7)=-3(yー9)
x-7-3k, 一(yー9)34k (kは整数) x-7が3の倍数で、
とおくと, x=3k+7, y=-4k+9 となる. g
x, yがともに20 以下の自然数なので,
153k+7<20
x-7=3k
(kは整数)とおけ,
4-3k=-3(y-9)よ
り,-(y-9)=4
15-4k+9<20
8-E-
13
11
-2<k<
3
ハん<2
4
したがって -2<k<2 より,
(x, y)= (1, 17), (4, 13), (7, 9), (10, 5), (13, 1) の
5組
xとyの積が最小となるのは,
k=-2, -1, 0, 1, 2
を、
x=3k+7, y=-4k+9
に代入する。
d1 S-E-b
19トーn
x=13, y=1
（誤り）
A は 4の倍数、B は 6の倍数 となりますが、
これはいつでも成り立ちません。
正しくは、2A＝3B と変形して、(2と3は互いに素)
A は 2の倍数、B は 3の倍数 となります。
（訂正後）
A は 6の倍数、B は 4の倍数 となりますが、
これはいつでも成り立ちません。
正しくは、2A＝3B と変形して、(2と3は互いに素)
A は 3の倍数、B は 2の倍数 となります。
失礼しました。