x+yの最大値の求め方が分かりません。

Question

x+yの最大値の求め方が分かりません。
教えていただけると嬉しいです。

monkeyなむ · Accepted Answer

場合分けは難しいので(ⅰ)の内容だけでも知っておいて欲しいです。

ーーー絶対読んでくださいーーー
【=kとおく】
x+y=kとおいて、kの最大値を求める。(x+yとkは等しいから)

【グラフを書いて傾き、切片、領域を考える】
y=−x+kであるから、
この直線傾きが-1の直線の切片であるkが最大となる場合を考えると良い。
ただし、直線y=-x+kの少なくとも一点は連立方程式の領域に存在しなければならない。
ーーーーーーーーーーーーーーー

□場合分け(ⅰ)r≧√2
【kの最大値　つまり　直線と領域が接する】
x+y-k=0と(x+1)^2+(y-1)^2=rが接する(グラフより)
⇔x+y-k=0と点(-1,1)の距離がr
○○○○○○↑円の中心○○○○○○
となるkを求める。

【点と直線の距離の公式でkを求める】
点と直線の距離の公式より、
|-1+1-k|/√{(-1)^2+1^2}=r
k/√2=r
k=√2 r

【x+yの最大値を求める】
したがってr=x+yの最大値は√2 r...答

□場合分け(ⅱ)1<r<√2のとき
【切片kは連立方程式の交点(x=0)】
連立方程式にx=0を代入して、
yを求めると
y=√(r^2-1)+1
となります。
x+y=0+y=yより、最大値√(r^2-1)+1...答

回答