✨ ベストアンサー ✨
三角比の定義は2種類あります。
一つ目の定義は、質問者さんが書かれているとおり、直角三角形を用いた定義です。この定義は導入としては視覚的にも理解しやすいのですが、90°を超える角を持つ三角形には適用することができません。
そこで登場するのが一つ目の定義を拡張した二つ目の定義です。これは単位円を用いたもので、cosθをx座標、sinθをy座標をとして定義します。この定義では90°を超える角にも対応可能になります。
質問者さんは、二つ目の定義を一つ目の定義で解釈しようとしているため、混乱が生じているのではないでしょうか。
例えばθ=120°の三角比を求めることを考えます。
90°を超える角なので二つ目の定義、すなわち単位円による「座標」で求める必要があります。
図のように120°では、x座標=cosθはマイナスに、y座標=sinθはプラスになることがわかります。
これだけ気をつければ、あとは今までの知識でそれぞれの値を求めることができます。
図のように、単位円において120°と60°は左右対称ですからθ=60°の直角三角形を考えればよいです。
θ=60°の三角形では斜辺が1ですからx軸方向の長さが1/2、y軸方向の長さが√3/2と求められます。
最後にこの結果をθ=120°へと落とし込むのですが、前述のように、単位円による定義では座標で考える必要があります。したがってx座標=cosθ=-1/2、y座標=sinθ=√3/2となります。
すみません、私が多分はっきりと理解出来ていないせいだと思うのですが、どうして120度の三角形が60度の三角形と左右対称になるのかが分からないです。
また、直角三角形の三角比では、90度と、θが同じになるから、2つの角度がそれぞれ等しくなり、相似になって三角比として辺の値を表せるのだと思っておりました。
90度を超える三角比というのは、どういう形でも直角三角形と左右対称になるから、単位円上の座標によって、値が－にはなるけど、三角比で表せる。ということでしょうか？
また、一つ目の定義の話になってしまうのですが、90度以下で、直角ではない三角形は、垂線を下ろして直角三角形にしないと三角比で表せないと思っていました。
ですが、直角三角形でなくても、三角比で表せて、三角比の表のような規則性があるのでしょうか？
分からないところが出てしまって、たくさん質問をしてしまうことをお許しください。
良かったら教えて頂けますと、たいへん助かります。よろしくお願いいたします🙇🏻♀️
線がぐちゃぐちゃで申し訳ないのですが、座標上での120度の三角形はこうなると思います。
そうなると、90度の三角形と比が同じになることは無く、三角比は同じにならないような気がします。
もしも図のイメージが間違っていたら教えて頂きたいです。
何度も何度も質問をしてしまい本当に申し訳ないです。
説明が拙くて混乱させてしまったようで申し訳ありません。
例えばθ=120°として、単位円による定義で三角比を求める場合、120°の角を持つ三角形を考えているわけではないのです。
単位円による定義では、三角比の値を座標によって決めるため、θが120°のときのxy座標がわかればよいのです。このxy座標を求めるために直角三角形の性質(1:1:√2や1:2:√3)を使っているだけで、それ以外の方法でxy座標を求められるのなら無理に直角三角形を使う必要はありません。
先程の例も120°の時のxy座標を求めるために、60°の直角三角形との対称性を利用しているだけで、それ以外の方法で求めても全然問題ありません。
繰り返しになりますが、単位円による定義ではxy座標が主役であり、座標を求めるために当初の定義を補助的に用いているにすぎないのです。座標がわかるのであれば正方形を使おうが百角形を使おうがなんでもいいんです。
私自身、教えていただいていたものの、ずっと一つ目の定義と二つ目の定義を混ぜて考えていたようです。何度も丁寧に教えて頂きまして、本当に助かります。
つまり、三角形の辺の長さを考える時に、単位円上で考えると、辺の比がわかる！というイメージでよろしいのでしょうか？
また、単位円上で考えた鈍角の三角形の三角比は、どのように使えるのでしょうか？
何度も質問してしまって申し訳ございません、お答えくださいますと助かります。
三角形の辺の長さを考える時に、単位円上で考えると、辺の比がわかる
というよりは、
単位円上の座標を求めるときに、三角形の比の関係が使える
というのが正しいかと思います。
辺の長さを考えているのではなく、座標を求めることを考えているのです。
単位円でsin,cosを考えるときは三角形で考えるのではなく、点(座標)で考えてください。
この辺りがまだ、一つ目の定義に囚われているように見受けられます。
また、鈍角三角形の三角比の使い道ですが、正弦定理や余弦定理、ベクトルの内積などこれから様々な場面で用いられます。最終的には単位円を360°まで拡張するので、正しい見方を今のうちに身につけると、後々楽になるかと思います。
なるほど！つまり、三角比ではなく、どちらかと単位円が主役で、三角形の比の関係(1:1:√2など)が、使えるという感じなのですね、、、
ずっと三角形の角度からの比を考えていて、あまり単位円を大事にしていませんでした。また、単位円上で考えなくても、座標との関係は使えると思っておりました、、
正弦定理や余弦定理は、一年生の範囲で入っておりますので、とりあえず問題を解いて、考え方に慣れる練習をしようと思います！
何度も質問をしていしまい、本当に申し訳ございませんでした。最後まで何度もご丁寧に教えてくださいまして、本当に助かりました。
ありがとうございました🙇🏻♀️❕🌷
その通り、2つ目の定義と一つ目の定義を同じものだと思ってました！
質問なのですが、単位円での90度を超える角の三角形の、三角比の求め方が分かりません。
どうして求めることが出来るのでしょうか？原理が分からないので、良かったら教えて頂きたいです(><)よろしくお願いいたします。