重要 例題「30 ax+byの形で表される整数
|どのような負でない2つの整数 mとnを用いてもx=3m+5n とは表すことが
できない正の整数xをすべて求めよ。
OOOOの
小の
【大阪大)
基本117, 重要 120
数。
整数の問題 いくつかの値で小手調べ (実験)
指針。
22+5n の係数3, 5のうち, 小さい方の3に注目。 n=0, 1, 2 を代入してみて, x がどの
ような形の式になるかを調べてみる。
→xを3で割った余りで分類されることが見えてくる。
る。
解答
nは負でない整数であるから
m20, n20
(m>0, n>0 は誤り。「負
でない」であるから, 0で
あってもよい。
m,
n=0 とすると
よって,xが3の倍数(x=3, 6, 9, ……) のときは,
x=3m+5n の形に表すことができる。
|2] n=1とすると
ここで, m20 より m+121であるから
よって,xが5以上の3で割って2余る数(x35, 8, 11,
……)のときは, x=3m+5n の形に表すことができる。
[3] n=2 とすると
ここで, m20 より m+3>3であるから
よって,xが 10以上の3で割って1余る数(x=10, 13, 16,
……)のときは, x=3m+5nの形に表すことができる。
[1]~[3] により, x=3, 5, 6 と x28のときは, x=3m+5n の
形に表すことができる。
よって,x=1, 2,4, 7 について考えればよい。
m=0, n=0 のとき
m=1, n=0 のとき
m=0, n=1のとき
m21, nè1のとき
x=3m
x=3m+5=3(m+1)+2
(x=3(m+2)-1としても
よい。
x23-1+2=5
x=3m+10=3(m+3)+1
x=3(m+4)-2としても
x23-3+1=10
よい。
(m, n が小さい値のときの,
xの値を調べる。
x=0
x=3
x=5
3m+5n28
13m+5n23·1+5·1=8
したがって, x==3m+5nと表すことができない正の整数は
x=1, 2, 4, 7
ありがとう😊