OOOO0
/tのA, (B, (C) を満たす3つの自然数の組(a, b, c)をすべて求めよ。ただし,
くかくcとする。
1 l G, 6, cの最大公約数は6
6とcの最大公約数は 24,最小公倍数は 144
naとbの最小公倍数は 240
るT
4章
17
ip.476 基本事項
>前ページの基本例題110 と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質 を利用
2つの自然数 a, bの最大公約数をg, 最小公倍数を1, a=ga', b=gb' とすると
1a'とb' は互いに素
いから、a=6k, b==67, c=6m として扱うのは難しい (k, 1, m が互いに素である, とは
仮定できないため)。B) から 6, c, 次に, (C) から aの値を求め, 最後に (A)を満たすものを
解とした方が進めやすい。
このとき,b=246', c=24c' (b', c'は互いに素でが<c)とおける。
最小公倍数について 246'c=144
2 1=ga'b'
3 ab=gl
T9AHO
これから6, c'を求める。
|答
国の前半の条件から, b=246', c=24c' と表される。自
ただし,が, c' は互いに素な自然数で 6<d…… O ++e
の後半の条件から
これとのを満たす が, c の組は
246'c=144 すなわち b'c'=6 8+(<gb'd=l\
1十 を (1+18-(1+00
+ さケ おさ
(6, c)=(24, 144), (48, 72)ち3(百)6=246', c=24c'J
明から,aは2と3を素因数にもつ。
また。(C)において
ゆえに
240=2*.3-5
るす計の(最大公約数は 6=2-3
| 0=24(=2°.3) のとき, aと 24の最小公倍数が 240 であ
るようなaは
240=2*-3-5
[1] 6=2°-3
[2] 6=2**3
これからaの因数を考え
a=2*.3·5 ?
これは, aくbを満たさない。
b=48 (=2*-3)のとき, aと 48の最小公倍数が 240 であ
く48を満たすのはカ=1の場合で, このとき
ただし(カ=1, (2, 3, 14
a=30
るようなaは
a=2°.3·5
る。
3個以上もつ
0, 48, 72 の最大公約数は6で, (A) を満たす。
以上から
(a, b, c)=(30, 48, 72)
-rめよ。ただし,
最大公約数と最小公倍数
