Question

🌧nam!🌧

鉛筆で線を引いたところが分からないです。
どうして問題文からこのような条件になると分かるのですか。教えて欲しいです🙇

例題 87
すべての実数で成り立つ不等式図る
次の条件を満たすような定数えの値の範囲を求めよ。
(1)すべての実数xに対して,不等式 x°+kx+k+3>0 が成り立つ、
(2) 2次不等式 kx°+(k+3)x+k>0 が解をもたない。
「考え方 グラフが上に凸か下に凸かを調べ, x 軸との位置関係に着目する。
解答 与えられた2次不等式において,(左辺)=0 としたとき
の判別式をDとする。
(1) 2次関数 y=x°+kx+k+3
のグラフが右の図のようになる
ときを考えると,求める条件は,
「(2次の係数)>0
lD=k°-4(k+3)<0
①は成り立つ、
2は,
y=x"+kx+k++3
…D
…2
|すべての実数で成り
立つ
x
→ 解はすべての
( 実数
( → 2次関数のグ
-4(k+3)<0
R-4k-12<0
(k+2)(k-6)<0 より,
よって,求めるkの値の範囲は,
(2) kx?+(k+3)x+k>0 が解をもたない
→すべてのxで kx°+(k+3)x+k<0
2次不等式であるから,
よって, 求める条件は,
|2次の係数 k<0
[D=(k+3)?-4k<0.2
2より, kS-1, 3冬k
kS-1
-2<k<6
ラフは下に凸でx軸
と共有点をもたない
→a>0, D<0
2次不等式とあるの
でR=0 の場合は
調べなくてよい、
(頂点のy座標)ハ0
つまり、
3(k°-2k-3)
-2<k<6
kキ0
x
…D
y=kx°+(k+3)x+k
4k
これと①より,
でもよいが計算が煩
雑となるため、Dを
用いる。
Focus
aキ0 のとき すべてのxについて、
2次の係数 a>0
判別式 D<0
ax+ bx+c>0 →
x
2次の係数 a<0
判別式 D<0
ax+ bxx+c<0 →
DK

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

不等式の解は「不等式を満たすもの」のこと。
よって、
解をもたない
⇔不等式を満たすxが存在しない
⇔どのxも不等式を満たさない
⇔すべてのxでkx²+(k+3)x+k≦0
⇔y=kx²+(k+3)x+kのグラフのすべての部分がx軸(直線y=0)より下、もしくは重なる
⇔y=kx²+(k+3)x+kのグラフは、上に凸で、x軸と交わらない、あるいは1点で接する
⇔{上に凸: 2次の係数k＜0
{x軸と交わらない、または接する: D＜0またはD=0

🌧nam!🌧

ありがとうございます🙇

Answer 2

ログアウト済み

kx²＋(k＋3)x＋k ＞ 0 が解をもたない

⇔ kx²＋(k＋3)x＋k ＞ 0 となる x が存在しない
（「ある x に対して、kx²＋(k＋3)x＋k ＞ 0｣ が成立しない）

⇔ すべての x に対して、 kx²＋(k＋3)x＋k ≦ 0

となるからです。

🌧nam!🌧

ありがとうございます🙇