Question

051213

解答4行目でどうして割り切れるかがわかりません。
詳しく教えてください。お願いします。

整式 P(x)を(x-3)°で割った余りが2.x-5 であり, x-1で割った余りが5であ
54 るとき, P(x) を (x-1)(x-3) で割った余りを求めよ。
練習
[東京電機大
(p.94 EX37,38、

練習 整式 P(x) を(x-3)*で割った余りが 2.c-5であり, x-1で割った余りが5であるとき, P(x)
【東京電機大)
54
を(x-1)(x-3)。で割った余りを求めよ。
~l
P(x) を(x-1)(x-3)°で割ったときの商をQ(x), 余りを 注意 P(x)
ax+ bx+cとすると, 次の等式が成り立つ。
P(x)=(x-1)(x-3)°Q(x)+ax+bx+c…… ①
ここで,(x-1)(x-3)°Q(x) は(x-3)°で割り切れるから,
P(x) を(x-3)、で割ったときの余りは, ax+bx+cを
(x-3)?で割ったときの余りと等しい。
P(x)を(x-3)で割った余りが2x-5であるから )
ax*+bx+c=a(x-3)?+2.x-5
よって,等式のは次のように表される。
P(x)=(x-1)(x-3)°Q(x)+a(x-3)?+2x-5
=(x-3)°Q(x)+2x-5
から P(3)=1
P(x)をx-1で割った余
りが5であるから
P(1)=5
このことと①から
P(3)=9a+36+c=1
P(1)=a+b+c=5
ゆえに b=-4a-2,
c=3a+7 が得られ,
ax°-2(2a+1)x+3a+7
を(x-3)?で割った余り
が2x-5 に一致するこ
とからaを求める方法
もあるが,手間がかかる。
したがって
P(1)=a(1-3)+2·1-5=4a-3
P(x)をx-1で割った余りが5であるから
P(1)=5
ゆえに
4a-3=5
よって
a=2
求める余りは
2(x-3)+2x-5 すなわち 2.c°-10x+13

剰余の定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

文字だからイメージしにくいだけで
「3×4×10」は3で割り切れますよね？
「3×4×10」は4で割り切れますよね？「3×4×10」は10で割り切れますよね？
なぜ割れるかというと「3×4×10」は3を因数に持ちますし、4も因数に持ちますし、10も因数に持つからです。

「(x-1)(x-3)^2・Q(x)」は「(x-1)×(x-3)^2×Q(x)」ということなので(x-3)^2で割り切れます。

051213

たしかにそうです！
ありがとうございます。