数学の質問です。
a,bは正の数とする。a＋4/a≧4 が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
という問題です。
相加相乗平均を使うと思います。
特に等号成立については、a＝4/aよりa∧2＝4、a＞0よりa＝2 と求めると思いますが、
別解も書いてありました。
a＝4/aかつa＋4/a＝4、よってa＝2
このようにやってましたが、なぜこのやり方が通用するのでしょうか？
というのも、a＝4/aというのはa＋4/a＝4から導き出されたものなので、代入しても何も生まれない気がしました。
ある方程式から求まったxの値を、その式に代入しなおしても何も変化が起きない、的なのが数学を解いててよくありますが、そのイメージです。
a＝4/aかつa＋4/a＝4、よってa＝2という考え方ができる理由を教えてください。
回答お待ちしてます。
a+4/a=4を変形して、(√a-2/√a)²=0がなりたつため、√a=2/√aとなり、両辺の2乗によってa=4/aが導かれます。
両辺2乗するより前の変形は逆も成り立つから、必要十分条件ですが、両辺が2乗される時、aが負である場合には逆の変形が成り立ちません。よって、十分条件であるからaが正であるという情報がa=4/aにおいては欠けてしまっているわけです。だから、その情報を補うためにa+4/a=4を用いています。
つまり、ある方程式と、ある方程式から出てきた新しい方程式が必要十分条件(情報に過不足がない)場合に限り何も変化が起きないということです。
実際、a+4/a=4の両辺a倍して2次方程式を解けばa=2が成り立ちますし。
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