Question

ますだ

解答教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

【問題 2) 一般に、整数 aとbは (a,b) = 1 のとき互いに素という。aとbが互いに素
であることは次の条件と同値である(後ほど説明する)。
au + bw = 1 を満たす整数 uとひが存在する
以下、a, b, c を整数とするとき、次を示せ。
(1) a とbが互いに素で alc かつ b|lcならば ablc.
(2) a とbが互いに素で albc ならば alc.

証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Tak

(a, b) = 1 より、ある整数u, vが存在して、
au + bv = 1
となる。この式の両辺にcを掛けると、
auc + bvc = c (＊)
となる。

(1)
今、b | c より、ab | auc となる。同様にして、ab | bvcでわかる。
したがって、(＊)より ab | c が従う。

(2)
a | bc だから、a | bvc である。
a | auc は明らかだから、(＊)より a | c が従う。

Tak

最初の等式を利用するのがポイントですね。

ますだ

ご丁寧にありがとうございます。
またありましたらよろしくお願いします。