Question

暁

(1)も(2)も全くわかりません
解き方やヒント教えてください🙏

放物線 y=x? と直線 y= a(x-1) が異なる2点P, Qで交わっている。
(1) aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) aの値が(1) の範囲で変化するとき, 線分 PQの中点の軌跡を求めよ。
4
4:ズ
→x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

(*ΦωΦ)/

y=x^2とy=a(x-1)の共有点のx座標は
連立して得られる式、x^2=a(x-1)の解ですので、

x^2-a(x-1)=0の解が異なる２つの実数解を持つ条件は
x^2-ax+a=0の判別式が正であればよいので
D=a^2-4a=a(a-4)>0より、a<0,4<a…①

また、P,Qのx座標をα,βとすると、P(α,α^2),Q(β,β^2)
よって線分PQの中点の座標(X,Y)は
X座標が(α+β)/2、Y座標が(α^2+β^2)/2となります。

ここで、α,βはx^2-ax+a=0の解ですから、
解と係数の関係から、α+β=a、αβ=a

これを用いて線分PQの中点の座標をaで表します。

X=(α+β)/2=a/2
Y=(α^2+β^2)/2={(α+β)^2-2αβ}/2=(a^2-2a)/2

X=a/2を変形してa=2XこれをY=(a^2-2a)/2に代入してaを消去すると

Y={(2X)^2-2(2X)}/2=(4X^2-4X)/2=2X^2-2X
Y=2X^2-2X=2(X^2-X)=2(X-1/2)^2-1/2
aの取りうる範囲a<0,4<aも同様にa=2Xを用いてXの取りうる範囲に変形する
2X<0,4<2Xより、X<0,2<X

答え、PQの中点の軌跡は
頂点が(1/2,-1/2)で下に凸の放物線y=2(x-1/2)^2-1/2の
x<0,2<xの部分。

暁

ありがとうございます！
質問なのですが、XとYはすぐにxとyに置き換えていいのですか？

Answer 2

ととろ

(1) 普通に直線の方程式を放物線のそれに代入した2次方程式の判別式＞0になる範囲

(2) (1) の方程式からxを求めて２つの交点の座標をaで表す。
そこから中点の座標を求める。
さらに中点の座標(x,y)のxとyが満たすべき関係を式に表す

暁

ありがとうございます！