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n²がkで割り切れる⇒nがkで割り切れる
となるようなkについて。
k=2のとき
n²=2M(Mは自然数)とおける。このとき、
n=√(2M)
となる。ここで、nは自然数だから、2Mは平方数である。
平方数は素因数を偶数個もつから、M=2m²(mは自然数)とおける。よって、
n=2m
となるから、nは2で割り切れる。
k=2のとき成り立つ。
これを成り立たせているのは、nが自然数すなわち、2Mが平方数であること。それによって、M=2m²となり、n=2mとなることである。
kで表せば、kMが平方数であることからM=km²となって、n=kmとなることである。
しかしながら、kMが平方数であればただちにM=km²となるわけではない。
そもそも2Mが平方数であることからM=2m²が導かれるのは、2Mの素因数が偶数個であるようにするためである。それに対して、たとえば4Mであれば、平方数となる条件はM=m²であり、M=4m²ではない。
この違いはkの素因数分解に表れる。kを素因数分解したときにすでに素因数を2個以上含む場合には、素因数を偶数個にするために、あえてその素因数をかける必要はない。
具体的には、
k=8=2³のとき
n²=2³∙M(Mは整数)
2³∙Mが平方数となる条件はM=2m²(mは整数)
これで必ず平方数になる。M=2³∙m²でなくていいことに注意。
重要なポイントを復習しておきます。
・nが自然数のとき、n²を素因数分解すると各素因数を必ず偶数個含む(2乗すると各素因数の個数は2倍になるから)。
これが素因数の個数を考えないといけない理由です。つまり、nが自然数であるようにするためには、n²の各素因数の個数が偶数個でなければならないからです。
n²がkで割り切れるとき、kはn²の因数ですから、n²の素因数の個数を偶数個にするにはkの素因数の個数を考える必要があります。
kを素因数分解したときに、各素因数を1つずつしか含まない場合に限って、M=km²となります。
k=a²bc等であれば、M=bcm²で十分です。M=a²bcm²である必要はありません。
説明が少し難しくなってしまったのですが理解できたでしょうか。わからなければ別の説明も考えてみようかと思います。
すごく分かりやすいです！理解できました。
詳しく教えてくださりありがとうございます✨いつも助かってます。