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2次関数の問題に帰着させるというのが、この解答の方針だと思います。
通常、xが変数で、aが任意の実数であることが多いですが、本問はaが変数でxが任意の実数であることに注意して解きます。
与不等式は、左辺を右辺に移項して
0≧-3x^2-2ax+a^2+1 ・・・①
となるので、
①と与不等式は同じものです。
そのため、求めるxの範囲は①の範囲と同じものです。
よって、①をみたすxの範囲を考えます。
①の右辺をaについての2次式と考え、
f(a) = a^2-2xa-3x^2+1
とおくと、
「①が成り立つ」には、
2次関数y = f(a)のグラフがa軸より下、すなわち、y座標がマイナスになる部分またはa軸上(つまりy=0の部分)を通ればいいことになります。
一般にこのような2次関数の問題では
⑴軸
⑵端点
⑶判別式
などの条件を利用して解くことが多いですが、
今回は軸や端点がどうであれ、
y=f(a)のグラフは、a^2の係数が正であることから、必ず下に凸のグラフになるので、・・・(☆)
2次関数y = f(a)のグラフがa軸より下、すなわち、y座標がマイナスになる部分またはa軸上(つまりy=0の部分)を通るようにするには、
D=0 (重解の部分がy=0すなわちa軸上を通る)
または
D>0
になればOKです。
つまり、D≧0を解けば良い。
解答では計算を楽にするためD/4を用いていますが、判別式≧0の不等式を解けば、答えがでます。
(☆)については
aが正のとき、添付した画像のようになることを考えていただいて、ご自身で大体のグラフ作図していただけると幸いです。
日本語がおかしいので
☆の後の、「通るようにするには...」を
「通ればよいです。そのため...」に修正させてください。