Question

らむ

(1)で、なぜ2の指数を 0～4まで考えることで最小公倍数が導けるのですか？

次の条件を満たす自然数nを,それぞれすべて求めよ。
基本例題102 最小公倍数から自然数の決定
396
O1O00
次の条件を満たす自然数nを, それぞれすべて求めよ。
(1) nと16 の最小公倍数が144 である。
(2) nと12と 50 の最小公倍数が 1500 である。
p.388, 389 暴本事項
CHART
So.
OLUTION
最小公倍数からもとの自然数nを決定する問題
①与えられた自然数, 最小公倍数を素因数分解する
② nの素因数の組み合わせを見つける
(1) 16 と144を素因数分解すると
よって, nを素因数分解すると, その素因数には3° が含まれる。あとは w。
共通するから,nを素因数分解したときの 2° の指数aについて考える。
(2) 12=2°-3, 50=2·5°, 1500=2°.3·5° であるから, n=2"·3°.5° の形。
16=2*, 144=2*-3°

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さんげん

最小公倍数はそれぞれの数の倍数になっているので、最小公倍数に3^2が含まれていて、16には含まれていないということは、nには3^2が含まれている事が分かる。というのは大丈夫だと思います。

つぎに、144と16に含まれている2の指数は同じになっています。nは少なくとも3^2は含まれているということがわかっているのですが、たとえば2^1も含まれていたとしても最小公倍数って変わりませんよね？

なぜなら、最小公倍数はそれぞれに同じ数字が含まれるとき、より指数の大きい方と同じ指数を持ちます。

たとえば、4と18を考えると最小公倍数は36になりますが、それぞれ素因数分解すると
4=2^2 , 18=2×3^2 ,36=2^2×3^2になります。
これをみて分かる通り、4に含まれる2の指数のが大きいので最小公倍数の方も4の方の２の指数と同じに、３の指数については、１８の方が大きいので18と同じで３の指数は2になっています。

ということを考えると、nに含まれる2の指数は16に含まれる2の指数を超えなければ、0でも1でも2でも最小公倍数には影響を与えないのでnは複数個考えられるということです。