✨ ベストアンサー ✨
ぱっと見た感じですが、
x>0で0<f(x)<1を満たす連続関数なので、f(x)は定数関数か指数関数になると思います。
ですので質問ではありませんが、(1)では定数関数の場合と指数関数の場合に分けて示すのかなと思います。
(2)では背理法でam<1/1024が存在しないと仮定すると、f(x)=1/2のときamは(1/2)^(m-1)になるのでmが12になるとき矛盾が生じてしまいます。という形で導くのかなと思います。1024という数字に注目してf(x)を考えればいいという問題と思います。
解答見つけたんですけど、指数関数ではないみたいです(´｡･д人)ｼｸｼｸ…
指数関数が何故ダメなのか考えてみましたが、分かりませんでした。お力になれずすみません。
もしかするとx->♾のときに0収束するので、条件である0<f(x)<1を満たさないからという理由かもしれません。
ただ(2)をみると定数関数を使うとわかるので、前門誘導の視点から見ると(1)も定数関数で示すのかなと感じました。
解答写真で載せました。
(1)は自力で証明できたんですが、(2)の赤いカッコのところが理解はできるんですが、この発想に至る理由が全く分からなくて……
何度もすみません((｡´･ω･)｡´_ _))ﾍﾟｺﾘ
解答と全く違いましたね笑 すみません！
(1)はf(x)に色々なものが考えられるので数学的帰納法で証明したのだと思います。数学的帰納法で示してしまえばf(x)が定数関数とか指数関数であることは関係ないので。
(2)は任意のf(x)に対して成立することを示すために0収束を利用してam=cとなることで矛盾を導いています。先日載せたf(x)=1/2だと一般性に欠ける(全ての関数で言えない)ので不十分でしたね。
さて方向性として、収束を示したいのでハサミウチか等比を使うと考えられます。本問では(1)でamが減少すると分かっているのでf(x)の値を最大値(最大値は0から1で都合がよく、どの関数でも対応できるようにするために最大値で考えています)に固定することで等比を繰り返し、極限に飛ばすことで0にしようと考えたわけです。本問で一番大切なのは0に収束させるにあたり
am-c の形を作ってあげることです。そのために赤い括弧の2行下で式変形を行なっています。初見では気づきにくい式変形なので覚えておけば他の問題でも応用できる気がします。
あまり良い解答は出来ませんでしたが、昔に数三のプラチカで見たような問題でした。志望校合格に向けて、是非頑張って下さい。
詳しい解説ありがとうございました！
解答ありがとうございます。