重要
例題111 2直線の交点の軌跡
mが実数全体を動くとき、次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか。
2 基本110
mx-y=0
の,
x+my-m-2=0 ·
指針>交点Pの座標を求めようと考え、①. ② をx, yの連立方程式とみて解くと
m+2 _ m(m+2)
のから y=mx
これを2に代入。
一
X=
リミ
m?+1'
m°+1
この2式から m を消去して x, yの関係式を求めようとすると,計算が大変。
そこで,交点Pが存在するための条件を考えてみよう。
m の値を1つ定めると,2直線の, ② が決まり, 2直線 ①, ② の交点Pが定まる。
例えば
m=0 のとき x=2, y=0
3
3
m=1のとき
X=
2'
ソ=
2
であるから,点(2, 0), (,
3
3
は求める図形上にある。これを逆の視点で捉えると,
2' 2
2直線0, 2の交点Pが存在するならば,①, ②をともに満たす実数 m が存在する
ということになる。
ゆえに,連立方程式 0, ② の解が存在する条件 と捉える。すなわち,①を満たすmが
2の式を満たすと考え,①, ② から mを消去しx, yの関係式を導く。
なお, m を消去するため,① をm について解くときに, xキ0 とx=0 の場合分けが必要
となる。軌跡を答えるときは,除外点 にも注意が必要となる。
(5y+3)
解答
P(x, y) とすると, x, yは①, ② を同時に満たす。
[1] xキ0 のとき
+x)テ
を利用することか
m=
x
のから
m=
x
P とする。
ら,xキ0 とx=0 の場合に
分けて考える。
2に代入して
x+
x
2-2=0
▲両辺にxを掛ける。
x
分母を払って
x°+y?-2x-y=0 …… ③
すなわち
