まず考えて欲しいのが(1)の最初の式変形です。特性方程式を解いて出てきた解を両辺から引いていると思います。
ここで√ 関数のグラフ(例えば√(2×+1)を思い出してみると、xの値が大きくなるにつれてyの増加が緩やかになっていたと思います。
するとan+1=√(2an+1)という式はnが無限大においても成立するとき、とある数に収束するのではないか？という予想ができると思います。
それが特性方程式を解いた値である3です。この意味が分かっておけば(2)は3収束を示す問題だと分かりましす。
この問題ですと(1)で不等式を求めていて、1よりも小さい数である2/3がかかっています。ですので、問題のように不等式をa-3に何度も繰り返し使い、ハサミウチの原理を利用することで答えを出しています。
と問題の見方を解説しましたが、この問題は決め打ちするような問題なので、解答を覚えるだけでも大丈夫だと思います。ただ、(1)の誘導がなくても解けるようにしとくといいと思います。以上です。
ありがとうございます！