Question

財前吾郎

赤線が分かりません。分子じゃだめなんですか？

104
例題
有理数と無理数の等式
61
*(1) a, bが有理数のとき, a+b/2 =0 ならば a=b=0 であることを証明せょ
ただし、/2 は無理数である。
(2) 次の等式を満たす有理数x, yの値を求めよ。
例題 59
(1+2/2)x+(2+2)y=5+4/2
(1) 直接がだめなら間接で 背理法
ここでは、bキ0 と仮定して矛盾を導く。また,矛盾を導くために 「V2は無理数である
を使いたい。そこで, 無理数を有理数でないととらえて考える。
(2) 与えられた等式は, 有理数x, y と無理数(2 の等式で、この式を2 について整理
して、(1)の結果を利用する。
有針
って
す
してを
結論の否定は「αキ0
または bキ0」であ
るが、ここでは
bキ0 と仮定する。
詳しくは検討参照。
解答(1) 6キ0 と仮定すると, a+b/2 30 から
2=-
a
b
の
a, bは有理数であるから,この右辺は有理数である。
ところが、Dの左辺は無理数であり,これは矛盾である。
したがって,bキ0 とした仮定は誤りで
b=0 をa+by2 =0 に代入して
ゆえに,a, bが有理数のとき
まれるから
b=0
a=0
はって
と定すると
a+by2 =0 ならば a=b=0
x+2y-5+(2x+y-4)/2 =0
(2) 与式から
a+b2 =0 の形に。
は
はとが
x+2y-5. 2x+y-4は有理数.、2 は無理数であるから
の断りは重要。
有理数の和·差 積
は有理数。
x+2y-5=0.
2x+y-4=0
この連立方程式を解いて
x=1, y=2
て
ばって、は
検討背理法は仮定が重要
背理法をうまく使うポイントは 「仮定」 にある。 (1)の証明で, a=b=0 の否定は 「αキ0 ま
たは bキ0」であり,本来はこれを仮定するところである。しかし, a, bのどちらか一方が
0であることが示されれば他方が0であることはすぐ示されるから、2 = の形にした
とき分母にくるbを0でないと仮定して矛盾を導いた。
なお,(1)は,2 以外の無理数に対しても証明することができ、一般に次のことが成り立つ。
a, b. c, dが有理数, V1 が無理数のとき
a+bT=c+d、T→ a=c, b=d
a+bT=0 → a=b=0
特に
練習|61 次の等式を満たす有理数x, yの値を求めよ。
(3+2)x+(2-3/2)y=12-7/2
ークー

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HS

そう思ったら実際にやってみましょう。

a≠0と仮定します。
a+b√2=0から①にしようとすると
bで割ることになりますが、
bはいま0か0でないか不明なので、
場合分けが生じます。
b=0のときはa=0となり仮定に矛盾します。
b≠0のときは√2=-a/bで、
模範解答と同様にして矛盾します。

よってa=0。よってb=0。

できそうですが、
結局bの話になるので無駄が多いですね。

Answer 2

ゆうか

0/1は0ですが、1/0は存在しないからです！