OOOO0
定義域を0SxS3とする関数f(x)=ax°-2ax+bの最大値が9, 最小値が1の
とき,定数 a, bの値を求めよ。
重要 例題83 2次関数の係数決定 [最大値 最小値] (2)
基本82
指針> この問題では, x° の係数に文字が含まれているから, aのとる値によって,グラフの形が
変わってくる。よって, 次の3つの場合分けを考える。
a=0(直線),
aキ0のときは,b.128 例題77 と同様にして,最大値·最小値を a, bの式で表し, =9, =1
から得られる連立方程式を解く。
なお, 場合に分けて得られた値が, 場合分けの条件を満たすかどうかの確認 を忘れないよ
うにしよう。
a<0(上に凸の放物線)
a>0(下に凸の放物線),
解答
(まず,基本形に直す。
関数の式を変形して
f(x)=a(x-1)°-a+b
[1] a=0 のとき
f(x)=6 (一定)となり, 条件を満たさない。
[2] a>0のとき
f(x) のグラフは下に凸の放物線と
なり,0Sx<3の範囲でf(x) は
x=3 で最大値 f(3)=3a+6,
x=1で最小値f(1)=-a+b
をとる。したがって
3a+b=9, -a+b=1
これを解いて
これはa>0を満たす。
[3] a<0のとき
f(x)のグラフは上に凸の放物線と
なり,0<x<3の範囲でf(x) は
x=1で最大値f(1)=-a+6,
x=3で最小値f(3)=3a+6
をとる。したがって
(常に一定の値をとるから,
最大値9,最小値1をとる
ことはない。
軸
最大
[a>0]
軸は直線x=1 で区間
0Sx<3内にあるから,
a>0 のとき
軸から遠い端(x33) で最
大,頂点(x=1)で最小と
最小
x=0 x=1
x=3
a=2, b=3
なる。
この確認を忘れずに。
[a<0] 軸
最大
近
(軸は直線x=1で区間
0SxS3内にあるから,
遠
a<0のとき
頂点(x=1) で最大,
軸から遠い端(x=3) で最
小となる。
この確認を忘れずに。
最小
ーa+b=9, 3a+b=1
x=0 x=1 x=3
これを解いて
これはa<0を満たす。
以上から
注意 問題文が "2次関数” f(x)=ax"+bx+cならばaキ0は仮定されていると考えるが、“関数
f(x)=ax?+bx+cとあるときは, a=0のときも考察しなければならない。
a=-2, b=7
a=2, b=3 または a=-2, b=7
もう少し詳しくお願いします🙇♂️
理解力がないもので…