Question

ルキ

スに入る記号は②なんですが、解説の⑦の説明でなんでそうなるのか分からないので教えてほしいです🙇‍♀️

数学I数学A
「太郎:次に,a=-4, b=2, c=-12 のときについて考えてみよう。このとき,
方程式の'は
x+2(y-1)x-8y2+4y-12 =D0
となり,この方程式を解くと
ア
土(9y?-6y+13 6
x=-y+
となるね。先ほどと同じように考えると, 9y?-6y+13は0以上でなけれ
ばならないのだけれど, 今回はyのとり得る値の範囲を絞り込むことがで
きないよ。
花子:このときは, ⑤のxが自然数であることに目をつければいいんじゃないかな。
ア
は整数だから,9y-6y+13 も整数にならないといけないんだ。
つまり(9y?-6y+13 =D m (mは0以上の整数)という形にならなければ
ならないね。
1
2
9y?-6y+13 =
カ
y-
キ
クケ
であることに注意すれば,このとき
カ
yー
キ
+m
カ
yー
キ
コサシ
ーm
が成り立つね。ここで
A=
カ
yー
キ
+m,B=
カ
キ
-m
とおくと, 2数A, Bには
ス
などの特徴があるね。
v
太郎:y=
セ
の値が得られるね。
m=
ソ
花子:このとき, x=
となり,確かに解が見つかったよ。
タ
太郎:本当だ。あとは, こんな考え方はどうかな。
x*+2xy-8y?-2.x+4y
レ
チx+
x
ツ
yー
テ
だから,この因数分解を利用しても解が求まるね。
(数学I,数学A第4間は次ページに続く。)
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数学I 数学A
カ
に当てはまる数を求めよ。 また,
コサシ
セ
テ
については, 最も適当なものを, 次の①~③のうちから一つ選べ。
ス
A<B かつA-Bは偶数
ASB かつ A-Bは奇数
1)
A2B かつ A-Bは偶数
の A2B かつ A-Bは奇数
フクー2
e0-11

xは自然数より
x=-1+3 =2
(m) y=3 のとき
x一
x=-3+1±V13-32 =-2±2
いずれもxは自然数であることに不適。
(i), (i), (m)より, ②を満たす自然数 x, yの組は
これを解し
x=2, y=2
a=-4, b=2, c=-12 のとき,①'より
x°+2(y-1)x-8y? +4y-12 = 0
x=ー(y-1)±/(y-1)?-(-8y2+4y-12)
=ー(y-1)±Vy?-2y+1+8y°-4y+12
数学I
解法
=-y+1±(9y?-6y+13
V9y?-6y+13 は0以上の整数であるから, mを0以上の整数として
19y-6y+13 =m
と表される。ここで
9y?-6y+13 = (3y-1)?+12
C
したがって
9y?-6y+13 =m?
(3y-1)?+12 = m?
(3y-1)2-m'=-12
(3y-1+m)(3y-1-m) =-12
Aa°-b= (a+b)(a-b)
A= 3y-1+m, B=3y-1-m とおくと
A-B= 2m N0
これより A2B かつ A-Bは偶数となる(②)
6より AB=-12
のよりA-Bは偶数なので, AとBの偶奇は一致し,A-Bは0以上である。
さらに, A+B= 6y-2 であり, 6y-226·1-2=4 より A+B24
これより, A=6, B=-2 であり
[3yー1+m=6
13y-1-m=-2
これを解いて y=1, m=4
解法の糸口
AB =-12 であること,お
び,A2B かつ A-Bは儲
であることなどから, A, B0
値を求め,yとm の連立方樹
を作る。
このとき
x=ーy+1±/9y? -6y+13 =ーy+1土m
=-1+1±4=±4
xは自然数よりx=4
また,のを x°+2xy-8y?-2x+4y= 12 と変形すると, 左辺について
x°+2xy-8y?-2x+4y=x*+(2yー2)x-2y(4y-2)
= (x-2y){x+(4yー2)}
= (x-2y) (x+4y-2)
よって(x-2y) (x+4y-2) =D12
x-2yとx+4y-2の偶奇が一致すること, および, x+4y-2 23 であるこ
とより

整数の性質 方程式 因数分解