Question

まめだいふく

教えてください🙏できれば詳しい解説を書いてくださるとありがたいです。

さいころを,1の目が3回出るまで繰り返し投げるものとする。n回目で終わる確率
をP。とするとき,次の問いに答えよ。 ただし, nw3 とする。
(1) P,を求めよ。
(2) Pnが最大となるnを求めよ。
【類九州工大)

反復試行

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

わからないところがあれば追記してくださいな

まめだいふく

写真の水色の線の下からがわからないので教えてもらいたいです🙇‍♀️

きらうる

最大最小を求めるやり方はいくつかありますが、このやり方は数列でよく用いられる手法です。
数列は通常単調増加か単調減少ですが、まれに減少→増加や増加→減少になる数列があります。
どこで判断するかというと、数列にn²やn³など2次以上の文字式が含まれる場合などです。
ただ単に3次式だけなら微分などで解けますが、今回の場合のように2次式×指数数列のように、微分が使えない場合に利用します。

今回の問題は、Pnが最大になるnを求めよ、という問題です。
つまり、Pは増加→減少となる数列であることがわかります。

P(n)＝(n-1)(n-2)/2×(1/6)³×(5/6)ⁿ⁻³
この数列は2次式×指数ⁿとなっていて、単純に微分で求めることができません。
そこで、以下のような数列がになっていると考えられます。
P(1)＜P(2)＜…＜P(k-1)＜P(k)＞P(k+1)＞…
このように、P(k)が最大になるkがあるはずです。
これを利用して、

P(k-1)＜P(k)　から
P(k)/P(k-1)＞1

P(k)＞P(k+1)　から
P(K+1)/P(k)＜1

が言えます。まれにP(k)＝P(k+1)となる場合もあります。今回の問題がそれです。

ここまでわかりますでしょうか。

まめだいふく

はい、わかります！

きらうる

では、どこでP(n+1)/P(n)が1より小さくなるかを求めると、写真のようになります。
いかがでしょうか

まめだいふく

なるほど！！理解できました！
詳しく教えていただき本当にありがとうございました🙇‍♀️