次の3条件を満たす3個の整数a, b, c (0<aく6<c)の値を求めよ。
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(A) a, b, cの最大公約数は 14
(B) bとcの最大公約数は 28, 最小公倍数は 392
C) aとbの最小公倍数は 168
[類専修大)
指針
「条件(A)より a=14a', b=146', c=14c'」 として扱うのは難しいから, 条件(B) からb,
cの値を絞り込む。
6, cの組それぞれについて, 条件 (A), (C) から a の値を求める。
その際、a, b, cは正の整数で, a<b<cであることに注意する。
「条件 (B) の前半から
b=286', c=28c
と表される。ただし, b', cは互いに素な自然数で, b'<c.
このとき,条件(B) の後半から
6<c'に注意して6, cの組
を絞り込む。
286'c=392
すなわち
b'c=14
2
である。0, 2より, 条件(B) を満たすが, d' の組は
(6, c)=(28, 392), (56, 196)
ゆえに
[1] (6, c)%3(28, 392)のとき
b=28=2°.7, 168=2°·3·7
よって,条件(C) を満たすaは
a=D2°·3·7° (カ=0, 1)
次の2
と表される。
のとき
条件(A)よりaは素因数7をもつから, カ=0のとき, 条件 (A) を
満たさない。
また, p=1のとき, a=168 であるが, これはaくbを満たさな
4でった
は1であ
い。
[2] (6, c)=(56, 196) のとき
よって, 条件(C)を満たすaは
a=2°·3·7" (9=0, 1, 2, 3:r=0, 1)
b=56=2°.7
と表される。
条件(A)より, aは2と7を素因数にもつから
q21, r=1 り、
このとき, a<bを満たすのはq=1の場合で
42, 56, 196 の最大公約数は14であるから, 条件(A)を満たす。
以上から
a=42
a=42, b=56, c=196
