Question

ほの

⑶ですが、y＝1/xlogx のグラフの書き方が分からず、解けません。教えて欲しいです。

83| 曲線や直線で囲まれた部分の面積
次の曲線や直線で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) y=sinx, y=sin2x (0<xハx) (2) y=
1
(3) y=
y=0, x=Ve, x=e - (4)y=
xlog x

Answer 1

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ログアウト済み

y ＝ 1/(xlogx) のグラフを正確に描くには、微分する必要がありますが、
囲まれる部分の面積を求めるだけの場合は、形は厳密でなくとも構いません（大体で良い）。

グラフの定義域は、0 ＜ x ＜ 1、 x ＞ 1。
y ＝ 1/(xlogx) は、x ＞ 1 において単調減少し、かつ y ＞ 0 です。

これって、y ＝ 1/x と性質が似ていますよね。
x ＞ 1 において、グラフが通過する領域は、ともに 第1象限 のみです。

ですから、y ＝ 1/x のグラフを描いて、囲まれる部分の面積を把握すれば良いのです。

ちなみに、0 ＜ x ＜ 1 のときは、 y ＝ 1/(xlogx) のグラフは第4象限を通りますが、今回の囲まれる部分の面積には無関係です。

ほの

y ＝ 1/(xlogx) は、x ＞ 1 において単調減少し、かつ y ＞ 0 です。

とありますが、なぜそうなるのでしょうか？

ログアウト済み

x ＞ 1 において、
① x ＞ 0 かつ logx ＞ 0。
② x も logx も単調増加します。

①, ②より、x ＞ 1 において、
xlogx ＞ 0 であり、
また、xlogx は単調増加するので、
1/(xlogx) ＞ 0 であり、
さらに、1/(xlogx) は単調減少します。

ほの

なるほど、理解しました！
答えも出ました🙇‍♂️丁寧に教えていただきありがとうございました🙇‍♂️

ほの

すみません、確認ですが、定義域の求め方は
真数条件よりx>0
xlogx ≠ 0よりx ≠1
であるので0<x<1,1<xであってますか？

ログアウト済み

そうです。

ほの

わかりました、ありがとうございました🙇‍♂️