Question

うに

微分したりしてみたのですが上手く解けません…
教えていただけると嬉しいです🙇‍♀️

log x
【1】 21を満たすすべてのxに対して, a
-ハbが成り立つような
aの最大値は
1
1
bの最小値は
2
e
である。

微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

f(x)＝(logx)/x^3とおくと
f'(x)＝(x^2−3x^2(logx))/x^6＝(1−3logx)/x^4
f'(x)＝0とするとx＝e^(1/3)
増減を考えると
極大値がf(e^(1/3))
また,lim(x→∞)f(x)＝0より
f(1)≦f(x)≦f(e^(1/3))となるから
amax＝0
bmin＝1/3e

ぽっきー

解説では増減表およびグラフの概形を書いていないのでこれだけみてもイメージできないと思います。
それらを描いた上でもう一度この解説を見てもらえると分かりやすいかと思います。

うに

助かりました！ありがとうございました🙇‍♀️🙇‍♀️

Answer 2

サスケ

まずグラフの概形をイメージします。
logxよりx^3の方が発散が速いので、x→∞のときlogx/x^3=0になるかなと予想します。
ここで僕は、微分で求められそうな気がしました。

y=logx/x^3を微分して
y'=1/3 - logxとなります。
増減表を書くと、x=e^(1/3)の時に最大値を取ると分かります。

x→∞のときy=logx/x^3を、
t=1/x (0<t≦1)として書き換えると、
t→0のときy=-(t^3)logt
となりますので、x→∞のときy=0となるとわかります。

また、x=1のときy=0です。

故にグラフの最大値は1/3e、最小値は0となるので、aの最大値は0、bの最小値は1/3eとなるはずです。

サスケ

解決後に申し訳ないです…

うに

分かりやすいです！！ありがとうございます🙇‍♀️🙇‍♀️