Question

ぺる

解と係数の関係を使った場合とグラフを利用した場合の２つの解き方で解いてみると、条件を求める際にα+βと軸やαβとf(0)について考えた場合のaの範囲が一致しました。違うものを求めているのに同じ範囲が出ることが不思議です。これに何か数学的な意味があれば、教えて頂きたいです。

基本 例題 49
2次方程式の実数解の符号
OOOO0
2次方程式x°-(a-10)x+a+14=0が次のような解をもつように, 定数aの値
の範囲を定めよ。
(1) 異なる2つの正の解
(2) 異符号の解
p.81 基本事項 [1
指針> 与えられた方程式の解をa, Bとして, 次の同値関係を利用する。
異なる2つの正の解→ D>0かつ α+B>0 かつ «B>0
異なる2つの負の解→ D>0かつ α+B<0かつ «B>0
異符号の解
→ B<0
解答
2次方程式x°- (α-10)x+a+14=0 の2つの解を α, Bとし,
判別式をDとする。
ここで
(1), (2) ともに, 数学Iで学習
した2次関数のグラフを利用
して考えることができる。下
の検討参照。
D={-(a-10)}-4(a+14)=α°_24a+44
=(a-2)(a-22)
解と係数の関係から
α+B=a-10, aB=a+14
(1) αキB, α>0, B>0であるための条件は
かつ a+B>0 かつ aB>0
(a-2)(a-22)>0(0
D>0
(異なる2つの正の解とある
から, αキ8で D>0
D>0から
ゆえに
a<2, 22<a
の
α+B>0からa-10>0
よって a>10
よって a>-14
の
aB>0 から a+14>0
-14
2 10 22
a
の, 2, ③ の共通範囲を求めて
(2) a, Bが異符号であるための条件は
a>22
aB<0
AaB<0ならD>0は常に成
ゆえに
a+14<0
り立つ。
よって
a<-14

解と係数の関係を伸った場合
()220解を人、Bとすると
{dtβ= a-10
ap= at 14
Date
グラつを利用した場局
4
リ>0 tっ atB>0 かつめB>0
020かっ軸20かっ fro720
あればおい。
2
1: (a-102-410t14)
(a-2)(a-22) >0
a<2,22<a 川①
D: 1a-l0)-4(at 14)
(a-2)(0-22)>0
ac),22<a いい 1
ニ
ニ
一致
a+B : a-10>0
a > 10 い
動を 0 >0
a> co
a-(
2
2
一致
fro)= at1420
一致 > -(4 、
02回より A>22 #
aB= at14>0
a>-14
3
3
.
① .
③より a> 22
の