Question

popo

青チャート 数学III 例題66及び練習66の質問です。
解説で、例題では接線の方程式をy=m(x-a)+bとおいているのに対し、練習ではy=mx+nとおいている違いを教えてください。例題は練習の、練習は例題の置き方をしても良いのでしょうか？

「針>点Pを通る直線ソ=m(x-a)+6が、楕円 x°+4y°=4に接するための条件は,
また, D=0 の解が接線の傾きを与えるから, 直交→傾きの積が 一1 と解と係数の関
+4(m(x-a)+6}\=4 の判別式Dについて, D=0 が成り立つことである。
117
OOOO0
CHART 直交する接線 D=0, (傾きの積)=D-1 の活用
重要 例題
【類 お茶の水大)
基本 63
値を求め
D)
神奈川大)
本事項口
なお,接線がx軸に垂直な場合は別に調べる。
係を利用する。
次ページでは,楕円の補助円を利用する解法も紹介している。
2章
本基
つのは
円
円
れが
m-
解答
1 aキ±2のとき,点Pを通る接線の方程式は
ソ=m(x-a)+b
とおける。
V5
P(a, b)
これを楕円の方程式に代入して整理すると
(4m°+1)x°+8m(6-ma)x+4(b-ma)°-4=0*)
この×の2次方程式の判別式をDとすると
1
V5
-2 0
2
x
D=0
-V5
-1
含と優
D
-16m°(b-ma)°-(4m°+1){4(bーma)°-4)
-5| x2+4y2=4
ここで
4
=-4(6-ma)°+4(4m°+1)
=4{(4-a°)m°+2abm-b°+1}
の
(*)(6-ma)のまま扱うと,
計算がしやすい。
ゆえに
(4-a°)m°+2abm-6°+1=0
直交→傾きの積が -1
mの2次方程式①の2つの解をα, Bとすると aB=-1
すなわち方こ6?+1
4-a
解と係数の関係
-=ー1
42次方程式
px°+qx+r=0について,
2
よって
a°+6°=5, aキ±2
12] a=±2 のとき,直交する2本の接線は x=±2, y=±1
(複号任意)の組で,その交点の座標は
ニー1が成り立つとき,
p
|判別式は 販
円酢 大g-4br=q"+4が>0
となり,異なる2つの実数
これらの点は円x+y°=5上にある。
(AS)
円x+y=5
解をもつ。
dS+(ロー)
1, [2] から, 求める軌跡は
引けることから明らかであるが(解答の図参照),これは次のようにして示される。
D'
参考 mの2次方程式① が異なる2つの実数解をもつことは,楕円の外部の点から2本の接線が
= (ab)°-(4-d)(ー8+1)=α'+46°-4青照。
点Pは楕円の外部にあるから α'+46*>4(> が成り立つ理由はp.125参照。)ゆえに Dso
なお,一般に楕円の直交する接線の交点の軌跡は円になる。この円を 準円とい
67 点を追る
mの2次方程式(O の判別式を D' とすると
[福島県医大)(p.121 EX45~47
練習
66
が直交するとき, aの値を求めよ。
甲 入
Cn」
o aS田線の接線

練習
66 aの値を求めよ。
【福島
aは正の定数とする。 点(1, a) を通り, 双曲線xー4y"=2に接する2本の直線が直なっ2) 2
TT
て整
条件を満たす接線はx軸に垂直でないから, その方程式を
y=mx+nとおく。 これをx-4y?=2 に代入して整理すると
(4m-1)x+8mnx+2(2n°+1)=0
ここ
よっ
よっ
した
この方程式について, 4m-1キ0 であり,直線y=mx+n が そ双曲線の漸施
1
y=±うxに練習
68
双曲線に接するための条件は, 判別式をDとすると D=0
団0
D
ここで =(4mn)°-2(4m*-1)(2n°+1)=-2(4mー2n?-1) は,接線になら。
よって,-2(4mー2n°-1)=0 から
また,直線y=mx+n は点(1, a)を通るから
の
x2-4y2=2 P(x,
4m-2n°=1 …
a=m+n
ゆえに
1)点
a-
n=a-m
これはか
2を0に代入して整理すると (0.4)
0 0 … 3
0)
iよっ
2m+4am-(2a’+1)=0
mの2次方程式③の判別式を Dとすると
よっ
した
、O
)点
D'
=(2a)°+2(2a°+1)=8q°+2
pe
なわ:4
よって, D'>0であるから,③ は異なる2つの実数解をもち,
接線は2本存在する。
この2本の接線の傾きを m,, m2 とすると, m1, m2 は(3の
る。
そ点(1, a)
の傾きが2つ よっ
接線は2本 よっ
0-
解であるから,解と係数の関係により
2a°+1
整理
Mim2=-
2
2本の接線が直交するから m,m=
-2直線が直
S(傾きの
した:
-1
人分ー
よって
2a°+1
ゆえに =
ニ
2
2

Answer 1

ホフマン転位

置いてもいけますよ　ただ練習の方は計算がめんどくさくなりますが

popo

ありがとうございます！